Номер 805, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

805. Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, проходящая через прямую AB и среднюю линию грани OCD?

Пусть дана пирамида $OABCD$, основанием которой является параллелограмм $ABCD$. Пусть $V$ — объём этой пирамиды.

Обозначим через $M$ и $N$ середины рёбер $OC$ и $OD$ соответственно. Линия $MN$ является средней линией грани (треугольника) $OCD$. По свойству средней линии, отрезок $MN$ параллелен стороне $CD$ и его длина равна половине длины $CD$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через прямую $AB$ и среднюю линию $MN$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Из того, что $AB \parallel CD$ и $MN \parallel CD$, следует, что $AB \parallel MN$. Это означает, что точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, и сечением пирамиды является трапеция $ABMN$.

Эта плоскость делит исходную пирамиду $OABCD$ на два многогранника: верхний многогранник $OABMN$ и нижний многогранник $ABMNCD$. Найдём отношение их объёмов.

Объём верхнего многогранника $V_1 = V_{OABMN}$ можно найти, разбив его на два тетраэдра (треугольные пирамиды) общей плоскостью $OAN$. Таким образом, $V_1 = V_{OABN} + V_{OAMN}$.

Вычислим объём каждого из этих тетраэдров в долях от объёма $V$ всей пирамиды.

1. Вычисление объёма $V_{OAMN}$

Рассмотрим тетраэдр $OAMN$ как пирамиду $A-OMN$ с вершиной в точке $A$. Сравним её объём с объёмом пирамиды $OACD$, которую также можно представить как пирамиду $A-OCD$. Обе эти пирамиды имеют общую вершину $A$, а их основания ($OMN$ и $OCD$) лежат в одной плоскости. Отношение их объёмов равно отношению площадей их оснований:$$ \frac{V_{A-OMN}}{V_{A-OCD}} = \frac{S_{OMN}}{S_{OCD}} $$Треугольник $OMN$ подобен треугольнику $OCD$ с коэффициентом подобия $k = \frac{OM}{OC} = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:$$ \frac{S_{OMN}}{S_{OCD}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$Следовательно, $V_{OAMN} = \frac{1}{4} V_{OACD}$.Объём пирамиды $OACD$ равен половине объёма исходной пирамиды $OABCD$, так как площадь её основания $\triangle ACD$ составляет половину площади параллелограмма $ABCD$: $V_{OACD} = \frac{1}{2}V$.Таким образом, объём тетраэдра $OAMN$ равен:$$ V_{OAMN} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}V\right) = \frac{1}{8}V $$

2. Вычисление объёма $V_{OABN}$

Рассмотрим тетраэдр $OABN$ как пирамиду $N-OAB$ с вершиной в точке $N$. Сравним её объём с объёмом пирамиды $OABD$, которую представим как пирамиду $D-OAB$. У этих пирамид общее основание $OAB$. Следовательно, отношение их объёмов равно отношению их высот, опущенных из вершин $N$ и $D$ на плоскость основания $OAB$:$$ \frac{V_{N-OAB}}{V_{D-OAB}} = \frac{h_N}{h_D} $$Так как точка $N$ является серединой ребра $OD$, высота из точки $N$ на плоскость $OAB$ вдвое меньше высоты из точки $D$ на ту же плоскость ($h_N = \frac{1}{2}h_D$).Значит, $V_{OABN} = \frac{1}{2} V_{OABD}$.Объём пирамиды $OABD$ также равен половине объёма исходной пирамиды $OABCD$, так как площадь её основания $\triangle ABD$ равна половине площади параллелограмма $ABCD$: $V_{OABD} = \frac{1}{2}V$.Таким образом, объём тетраэдра $OABN$ равен:$$ V_{OABN} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}V\right) = \frac{1}{4}V $$

3. Нахождение искомого отношения объёмов

Суммарный объём верхней части $V_1$ составляет:$$ V_1 = V_{OAMN} + V_{OABN} = \frac{1}{8}V + \frac{1}{4}V = \frac{1}{8}V + \frac{2}{8}V = \frac{3}{8}V $$Объём нижней части $V_2$ равен разности объёма всей пирамиды и объёма верхней части:$$ V_2 = V - V_1 = V - \frac{3}{8}V = \frac{5}{8}V $$Искомое отношение объёмов, на которые плоскость делит пирамиду, равно:$$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{3}{8}V}{\frac{5}{8}V} = \frac{3}{5} $$

Ответ: $3:5$.