Номер 809, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Движения, дополнительные задачи. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 809, страница 193.

Условие.

809. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объём общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения этой задачи воспользуемся методом поперечных сечений. Введем декартову систему координат $Oxyz$ с началом в точке пересечения осей цилиндров.

Пусть ось первого цилиндра совпадает с осью $Oz$, а ось второго — с осью $Oy$. Поскольку радиус каждого цилиндра равен $R=1$ см, их уравнения будут следующими:

• Первый цилиндр (ось $Oz$): $x^2 + y^2 \le R^2 \implies x^2 + y^2 \le 1$
• Второй цилиндр (ось $Oy$): $x^2 + z^2 \le R^2 \implies x^2 + z^2 \le 1$

Общая часть этих двух цилиндров (тело их пересечения) определяется системой неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 1 \\ x^2 + z^2 \le 1 \end{cases} $$

Чтобы найти объем этого тела, рассмотрим его сечение плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$, на некотором расстоянии $x$ от начала координат, где $x \in [-1, 1]$.

Для фиксированного значения $x$ из системы неравенств получаем:

$$ y^2 \le 1 - x^2 \implies -\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2} $$ $$ z^2 \le 1 - x^2 \implies -\sqrt{1-x^2} \le z \le \sqrt{1-x^2} $$

Эти два неравенства описывают в плоскости сечения квадрат со стороной $a(x)$, длина которой равна:

$$ a(x) = \sqrt{1-x^2} - (-\sqrt{1-x^2}) = 2\sqrt{1-x^2} $$

Площадь этого квадратного сечения $S(x)$ равна:

$$ S(x) = (a(x))^2 = (2\sqrt{1-x^2})^2 = 4(1 - x^2) $$

Объём $V$ общей части цилиндров можно найти, проинтегрировав площадь сечения $S(x)$ по переменной $x$ в пределах от $-R$ до $R$, то есть от $-1$ до $1$.

$$ V = \int_{-1}^{1} S(x) \,dx = \int_{-1}^{1} 4(1 - x^2) \,dx $$

Вычислим этот интеграл:

$$ V = 4 \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \,dx = 4 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} $$

Подставляем пределы интегрирования:

$$ V = 4 \left( \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) \right) = 4 \left( \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \frac{-1}{3}\right) \right) $$ $$ V = 4 \left( \frac{2}{3} - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) \right) = 4 \left( \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) \right) = 4 \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \right) = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} $$

Таким образом, объём общей части двух цилиндров составляет $ \frac{16}{3} $ см?.

Ответ: $ \frac{16}{3} \text{ см}^3 $.