Номер 806, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

806. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок AB, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объём тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D.

Обозначим три данные параллельные прямые как $l_1$, $l_2$ и $l_3$. По условию, отрезок $AB$ лежит на прямой $l_1$, точка $C$ может быть выбрана в любом месте на прямой $l_2$, а точка $D$ — в любом месте на прямой $l_3$.

Для доказательства утверждения воспользуемся формулой для вычисления объема тетраэдра: $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$ где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. В качестве его основания выберем треугольник $ABC$, тогда вершиной будет точка $D$. Объем тетраэдра в этом случае равен: $V_{ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D$ где $S_{ABC}$ — это площадь треугольника $ABC$, а $h_D$ — это высота тетраэдра, то есть перпендикуляр, опущенный из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$.

Чтобы доказать, что объем $V_{ABCD}$ не зависит от выбора точек $C$ и $D$, нам нужно показать, что ни площадь $S_{ABC}$, ни высота $h_D$ не меняются при перемещении точек $C$ и $D$ по их прямым.

Докажем постоянство площади основания $S_{ABC}$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h'$, где $|AB|$ — длина стороны $AB$, а $h'$ — высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $l_1$, содержащую отрезок $AB$.

Длина отрезка $AB$ — это заданная, фиксированная величина. Высота $h'$ представляет собой расстояние от точки $C$, лежащей на прямой $l_2$, до прямой $l_1$. Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ по условию параллельны, расстояние между ними является постоянной величиной. Это означает, что для любой точки $C$ на прямой $l_2$ расстояние до прямой $l_1$ будет одним и тем же. Следовательно, высота $h'$ постоянна.

Так как и длина основания $|AB|$, и высота $h'$ постоянны, то площадь треугольника $S_{ABC}$ также является постоянной величиной и не зависит от выбора положения точки $C$ на прямой $l_2$.

Докажем постоянство высоты тетраэдра $h_D$.

Высота тетраэдра $h_D$ — это расстояние от точки $D$ до плоскости, в которой лежит треугольник $ABC$. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

Плоскость $\alpha$ определяется прямой $l_1$ (на которой лежат точки $A$ и $B$) и точкой $C$, не лежащей на $l_1$. Так как точка $C$ принадлежит прямой $l_2$, которая параллельна прямой $l_1$, то вся прямая $l_2$ также лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, $\alpha$ — это плоскость, содержащая две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$.

Точка $D$ лежит на прямой $l_3$. По условию все три прямые параллельны, следовательно, $l_3 \parallel l_1$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($l_3$) параллельна некоторой прямой ($l_1$), лежащей в плоскости ($\alpha$), то она параллельна и самой плоскости. При этом, по условию, три прямые не лежат в одной плоскости, что означает, что $l_3$ не принадлежит $\alpha$.

Расстояние от любой точки прямой до параллельной ей плоскости является постоянным. Это означает, что расстояние от точки $D$ до плоскости $\alpha$, то есть высота $h_D$, не изменяется при перемещении точки $D$ вдоль прямой $l_3$.

Таким образом, мы показали, что площадь основания $S_{ABC}$ не зависит от выбора точки $C$, а высота тетраэдра $h_D$ не зависит от выбора точки $D$. Поскольку обе эти величины постоянны, их произведение, а значит и объем тетраэдра $V_{ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D$, также является постоянной величиной, не зависящей от выбора точек $C$ и $D$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Объем тетраэдра $ABCD$ не зависит от выбора точек $C$ и $D$, так как он равен $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D$, где площадь основания $S_{ABC}$ постоянна из-за параллельности прямых, на которых лежат основание $AB$ и вершина $C$, а высота $h_D$ постоянна из-за параллельности прямой, на которой лежит вершина $D$, и плоскости основания $ABC$.