Номер 813, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

813. Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объёму части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.

Пусть радиус шара равен $R$. Объем шара равен $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Введем систему координат, в которой центр шара находится в начале координат, а диаметр, вокруг которого происходит вращение, лежит на оси $Ox$. Шар образован вращением полукруга $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ ($y \ge 0$) вокруг оси $Ox$.

Рассмотрим хорду, один конец которой находится в точке $A=(R, 0)$. Пусть второй конец хорды — точка $B$, лежащая на полукруге. Обозначим искомый угол между хордой $AB$ и диаметром через $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном концами диаметра и точкой $B$, длина хорды $AB$ равна $2R\cos\alpha$. Координаты точки $B$ равны $(x_B, y_B)$, где $x_B = R - 2R\cos^2\alpha = -R\cos(2\alpha)$ и $y_B = 2R\sin\alpha\cos\alpha = R\sin(2\alpha)$.

Поверхность, образованная вращением хорды $AB$ вокруг оси $Ox$, является конической поверхностью. Эта поверхность разделяет шар на две части. Найдем объем $V_1$ одной из этих частей. Эта часть представляет собой тело вращения, образованное вращением криволинейного сектора, ограниченного дугой $AB$ и хордой $AB$. Его объем можно найти как разность объемов шарового сегмента и конуса.

Объем шарового сегмента $V_{сегм}$ определяется плоскостью $x = x_B$. Высота этого сегмента $h = R - x_B = R - (-R\cos(2\alpha)) = R(1+\cos(2\alpha)) = 2R\cos^2\alpha$. Объем вычисляется по формуле $V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi h^2(3R-h)$. Подставляя $h$, получаем:$V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi (2R\cos^2\alpha)^2 (3R - 2R\cos^2\alpha) = \frac{4}{3}\pi R^3 \cos^4\alpha(3 - 2\cos^2\alpha)$.

Объем конуса $V_{кон}$, образованного вращением отрезка $AB$, имеет ту же высоту $h = 2R\cos^2\alpha$ и радиус основания $r = y_B = R\sin(2\alpha) = 2R\sin\alpha\cos\alpha$. Его объем $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$:$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi (2R\sin\alpha\cos\alpha)^2 (2R\cos^2\alpha) = \frac{8}{3}\pi R^3 \sin^2\alpha\cos^4\alpha$.

Объем $V_1$ равен разности $V_{сегм} - V_{кон}$:$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 \cos^4\alpha(3 - 2\cos^2\alpha) - \frac{8}{3}\pi R^3 \sin^2\alpha\cos^4\alpha$Используя тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, преобразуем выражение:$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 \cos^4\alpha(3 - 2\cos^2\alpha) - \frac{8}{3}\pi R^3 (1-\cos^2\alpha)\cos^4\alpha$$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 \cos^4\alpha [ (3 - 2\cos^2\alpha) - 2(1 - \cos^2\alpha) ]$$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 \cos^4\alpha [ 3 - 2\cos^2\alpha - 2 + 2\cos^2\alpha ] = \frac{4}{3}\pi R^3 \cos^4\alpha$.

По условию задачи, эта поверхность делит шар на две равные по объему части, значит, объем $V_1$ составляет половину объема всего шара:$V_1 = \frac{1}{2}V_{шара}$$\frac{4}{3}\pi R^3 \cos^4\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$Отсюда получаем уравнение:$\cos^4\alpha = \frac{1}{2}$Так как $\alpha$ — острый угол, $\cos\alpha > 0$. Извлекаем корень дважды:$\cos^2\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$.