Номер 819, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

819. Точка М лежит внутри четырёхугольника АВСD. Докажите, что ∠АМD = ∠АВМ + ∠МСD тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников АВМ и МСD, имеют в точке М общую касательную.

Данная задача требует доказать эквивалентность двух утверждений. Доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности.

Обозначим через $ \omega_1 $ окружность, описанную около треугольника $ ABM $, и через $ \omega_2 $ окружность, описанную около треугольника $ MCD $.

Доказательство необходимости

Дано: Окружности $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $ имеют в точке $ M $ общую касательную.

Доказать: $ \angle AMD = \angle ABM + \angle MCD $.

Пусть $ l $ — общая касательная к окружностям $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $ в точке $ M $.

Когда две окружности касаются в одной точке, они располагаются по разные стороны от их общей касательной. Поскольку точка $ A $ лежит на $ \omega_1 $ (и $ A \neq M $), а точка $ D $ лежит на $ \omega_2 $ (и $ D \neq M $), точки $ A $ и $ D $ находятся по разные стороны от касательной $ l $.

Это означает, что луч, исходящий из точки $ M $ и лежащий на прямой $ l $, проходит внутри угла $ \angle AMD $. Таким образом, угол $ \angle AMD $ равен сумме углов, которые отрезки $ MA $ и $ MD $ образуют с касательной $ l $.

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой (об угле в альтернативном сегменте):

1. Для окружности $ \omega_1 $ угол между касательной $ l $ и хордой $ MA $ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. То есть, угол между $ l $ и $ MA $ равен $ \angle ABM $.
2. Аналогично, для окружности $ \omega_2 $ угол между касательной $ l $ и хордой $ MD $ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. То есть, угол между $ l $ и $ MD $ равен $ \angle MCD $.

Складывая эти два угла, получаем: $ \angle AMD = (\text{угол между } l \text{ и } MA) + (\text{угол между } l \text{ и } MD) = \angle ABM + \angle MCD $.

Таким образом, необходимость доказана.

Доказательство достаточности

Дано: $ \angle AMD = \angle ABM + \angle MCD $.

Доказать: Окружности $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $ имеют в точке $ M $ общую касательную.

Проведем через точку $ M $ касательную $ l $ к окружности $ \omega_1 $. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $ l $ и хордой $ MA $ равен $ \angle ABM $.

Подставим это в данное нам равенство: $ \angle AMD = \angle ABM + \angle MCD = (\text{угол между } l \text{ и } MA) + \angle MCD $.

Теперь рассмотрим, как угол $ \angle AMD $ связан с углами, которые его стороны образуют с прямой $ l $. Возможны два случая:

1. Точки $ A $ и $ D $ лежат по разные стороны от прямой $ l $. В этом случае, как мы видели в первой части, $ \angle AMD = (\text{угол между } l \text{ и } MA) + (\text{угол между } l \text{ и } MD) $. Сравнивая это с полученным выше равенством, имеем: $ (\text{угол между } l \text{ и } MA) + (\text{угол между } l \text{ и } MD) = (\text{угол между } l \text{ и } MA) + \angle MCD $. Отсюда следует, что $ (\text{угол между } l \text{ и } MD) = \angle MCD $. По обратной теореме об угле между касательной и хордой, это означает, что прямая $ l $ является касательной к окружности $ \omega_2 $ в точке $ M $. Поскольку $ l $ уже является касательной к $ \omega_1 $ в точке $ M $, то $ l $ — общая касательная.
2. Точки $ A $ и $ D $ лежат по одну сторону от прямой $ l $. В этом случае $ \angle AMD $ равен разности углов, которые его стороны образуют с прямой $ l $: $ \angle AMD = |(\text{угол между } l \text{ и } MA) - (\text{угол между } l \text{ и } MD)| $. Тогда исходное равенство принимает вид: $ |(\text{угол между } l \text{ и } MA) - (\text{угол между } l \text{ и } MD)| = (\text{угол между } l \text{ и } MA) + \angle MCD $. Обозначим $ \alpha = (\text{угол между } l \text{ и } MA) $, $ \beta = (\text{угол между } l \text{ и } MD) $, $ \gamma = \angle MCD $. Все углы положительны. Равенство $ |\alpha - \beta| = \alpha + \gamma $ может выполняться только если $ \gamma \le 0 $, что невозможно, так как угол треугольника положителен. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, реализуется только первый случай, и прямая $ l $ является общей касательной для окружностей $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $ в точке $ M $. Достаточность доказана.

Поскольку доказаны и необходимость, и достаточность, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.