Номер 814, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точки О и Н симметричны относительно точки G.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины тетраэдра. Введем систему координат с началом в точке $O$ — центре описанной сферы. Тогда радиус-векторы вершин тетраэдра, которые мы обозначим как $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, будут удовлетворять условию равенства их модулей радиусу $R$ описанной сферы:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$

В квадрате это равенство выглядит так: $\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = \vec{c}^2 = \vec{d}^2 = R^2$.

Точка $G$, являющаяся точкой пересечения отрезков, соединяющих вершины с центроидами (точками пересечения медиан) противоположных граней, есть не что иное, как центроид (или центр масс) всего тетраэдра. Её радиус-вектор $\vec{g}$ выражается как среднее арифметическое радиус-векторов вершин:

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

По условию, все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке $H$. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим. Важнейшим свойством ортоцентрического тетраэдра является то, что суммы квадратов длин его противоположных ребер равны. В векторном виде, с началом координат в центре описанной сферы $O$, это свойство эквивалентно следующему соотношению для скалярных произведений векторов вершин:

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

Теперь найдем радиус-вектор $\vec{h}$ ортоцентра $H$. Рассмотрим точку $P$, радиус-вектор которой $\vec{p}$ определяется формулой:

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{2}$

Докажем, что эта точка $P$ лежит на каждой из высот тетраэдра. Для этого достаточно показать, что вектор, соединяющий вершину (например, $A$) с точкой $P$, перпендикулярен противоположной грани ($BCD$). Вектор $\vec{AP}$ равен $\vec{p} - \vec{a}$:

$\vec{AP} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{2} - \vec{a} = \frac{-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{2}$

Проверим перпендикулярность этого вектора векторам, лежащим в плоскости грани $BCD$, например, $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$ и $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.

$\vec{AP} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{b})$
$= \frac{1}{2}(-\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} - \vec{b}^2 + \vec{c}^2 - \vec{c}\cdot\vec{b} + \vec{d}\cdot\vec{c} - \vec{d}\cdot\vec{b})$
$= \frac{1}{2}(-\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{b} - R^2 + R^2 + \vec{c}\cdot\vec{d} - \vec{b}\cdot\vec{d})$
$= \frac{1}{2}[(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{d}) - (\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{d})]$

Поскольку тетраэдр ортоцентрический, выражение в квадратных скобках равно нулю. Следовательно, $\vec{AP} \perp \vec{BC}$. Аналогично доказывается, что $\vec{AP} \perp \vec{BD}$. Таким образом, вектор $\vec{AP}$ перпендикулярен плоскости $BCD$, а значит, точка $P$ лежит на высоте, опущенной из вершины $A$.

В силу симметрии формулы для $\vec{p}$, аналогичные рассуждения показывают, что точка $P$ лежит на всех четырех высотах тетраэдра. Так как по условию все высоты пересекаются в точке $H$, то точка $P$ и есть ортоцентр $H$. Итак, радиус-вектор ортоцентра:

$\vec{h} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{2}$

Теперь мы можем доказать утверждения задачи.

Доказательство того, что точки H, O и G лежат на одной прямой (прямая Эйлера)

Имеем радиус-векторы точек $O$, $G$ и $H$:

$\vec{o} = \vec{0}$
$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$
$\vec{h} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{2}$

Рассмотрим векторы $\vec{OG}$ и $\vec{OH}$:

$\vec{OG} = \vec{g} - \vec{o} = \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$
$\vec{OH} = \vec{h} - \vec{o} = \vec{h} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{2}$

Из этих выражений видно, что $\vec{OH} = 2 \cdot \vec{OG}$.

Поскольку вектор $\vec{OH}$ является произведением вектора $\vec{OG}$ на скаляр (число 2), эти векторы коллинеарны. Так как они исходят из одной точки $O$, точки $O$, $G$ и $H$ лежат на одной прямой.

Доказательство того, что точки O и H симметричны относительно точки G

Точки $O$ и $H$ симметричны относительно точки $G$, если $G$ является серединой отрезка $OH$. В векторной форме это означает, что радиус-вектор точки $G$ должен быть равен полусумме радиус-векторов точек $O$ и $H$. Проверим это условие:

$\frac{\vec{o} + \vec{h}}{2} = \frac{\vec{0} + \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{2}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Полученное выражение в точности совпадает с радиус-вектором точки $G$: $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$.

Таким образом, $\vec{g} = \frac{\vec{o} + \vec{h}}{2}$, что и доказывает, что точка $G$ является серединой отрезка $OH$, а значит, точки $O$ и $H$ симметричны относительно $G$.

Оба утверждения доказаны.

Ответ: Утверждение доказано. В ортоцентрическом тетраэдре центр описанной сферы $O$, центроид $G$ и ортоцентр $H$ лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причем точка $G$ является серединой отрезка $OH$, что означает симметричность точек $O$ и $H$ относительно точки $G$.