Номер 817, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

817. Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А₁, а другую — в точках В и В₁. Докажите, что АА₁ || ВВ₁.

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, которые касаются в единственной точке $M$. Через точку $M$ проведены две секущие. Первая секущая пересекает $\omega_1$ в точке $A$ (отличной от $M$) и $\omega_2$ в точке $B$ (отличной от $M$). Вторая секущая пересекает $\omega_1$ в точке $A_1$ (отличной от $M$) и $\omega_2$ в точке $B_1$ (отличной от $M$). Из условия следует, что точки $A, M, B$ лежат на одной прямой, и точки $A_1, M, B_1$ также лежат на одной прямой. Требуется доказать, что хорда $AA_1$ в окружности $\omega_1$ параллельна хорде $BB_1$ в окружности $\omega_2$.

Для доказательства проведем через точку $M$ общую касательную $l$ к обеим окружностям и воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду в альтернативном сегменте.

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения окружностей.

Случай 1: Внешнее касание

В этом случае окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ находятся по разные стороны от общей касательной $l$. Точка $M$ лежит между точками $A$ и $B$ на первой секущей (порядок точек $A-M-B$ или $B-M-A$) и между точками $A_1$ и $B_1$ на второй секущей (порядок $A_1-M-B_1$ или $B_1-M-A_1$).

Рассмотрим угол между касательной $l$ и секущей $A_1MB_1$. Пусть $\alpha$ — это угол, образованный касательной $l$ и лучом $MA_1$. По теореме об угле между касательной и хордой для окружности $\omega_1$, этот угол равен вписанному углу $\angle MAA_1$, который опирается на хорду $MA_1$:

$\angle MAA_1 = \alpha$

Угол между касательной $l$ и лучом $MB_1$ является вертикальным к углу $\alpha$, так как лучи $MA_1$ и $MB_1$ направлены в противоположные стороны от точки $M$. Следовательно, угол между касательной $l$ и хордой $MB_1$ в окружности $\omega_2$ также равен $\alpha$. По той же теореме для окружности $\omega_2$:

$\angle MBB_1 = \alpha$

Таким образом, мы получили, что $\angle MAA_1 = \angle MBB_1$.

Рассмотрим прямые $AA_1$ и $BB_1$ и секущую $AB$. Углы $\angle MAA_1$ (он же $\angle BAA_1$) и $\angle MBB_1$ (он же $\angle ABB_1$) являются накрест лежащими углами. Поскольку эти углы равны, по признаку параллельности прямых, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны.

Случай 2: Внутреннее касание

Пусть окружность $\omega_2$ находится внутри окружности $\omega_1$. В этом случае обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной $l$. На секущих точка $M$ не лежит между другими точками пересечения. Например, порядок точек на прямых будет $M, B, A$ и $M, B_1, A_1$ (если радиус $\omega_1$ больше радиуса $\omega_2$).

Рассмотрим угол $\alpha$ между касательной $l$ и секущей $A_1MB_1$. По теореме об угле между касательной и хордой для окружности $\omega_1$:

$\angle MAA_1 = \alpha$

Поскольку точки $M, B_1, A_1$ лежат на одной прямой и исходят из $M$ в одном направлении, хорды $MA_1$ и $MB_1$ лежат на одном луче. Следовательно, угол между касательной $l$ и хордой $MB_1$ в окружности $\omega_2$ также равен $\alpha$. По той же теореме для окружности $\omega_2$:

$\angle MBB_1 = \alpha$

Таким образом, мы снова получили, что $\angle MAA_1 = \angle MBB_1$.

Рассмотрим прямые $AA_1$ и $BB_1$ и секущую $AB$. Углы $\angle MAA_1$ и $\angle MBB_1$ являются соответственными углами, так как точки $A_1$ и $B_1$ лежат по одну сторону от секущей $AB$. Поскольку эти углы равны, по признаку параллельности прямых, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны.

В обоих случаях доказано, что $AA_1 \parallel BB_1$.

Альтернативное доказательство (с использованием гомотетии)

Две окружности, касающиеся в точке $M$, гомотетичны с центром гомотетии в точке $M$. Это означает, что существует преобразование гомотетии (подобия с центром) $H$ с центром в $M$, которое переводит окружность $\omega_1$ в окружность $\omega_2$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению их радиусов (с соответствующим знаком: $k = -R_2/R_1$ для внешнего касания и $k = R_2/R_1$ для внутреннего).

Первая секущая, проходящая через точки $A, M, B$, является прямой, проходящей через центр гомотетии $M$, поэтому она переходит сама в себя. Точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$. Её образ $H(A)$ должен лежать на образе окружности, $H(\omega_1) = \omega_2$, и на образе прямой $AMB$. Единственная точка, удовлетворяющая этим условиям (кроме $M$), это точка $B$. Следовательно, $H(A) = B$.

Аналогично, для второй секущей $A_1MB_1$ получаем, что $H(A_1) = B_1$.

По определению гомотетии, она переводит отрезок в параллельный ему отрезок. Следовательно, отрезок, соединяющий точки $A$ и $A_1$, переходит в отрезок, соединяющий их образы $B$ и $B_1$. Это означает, что прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.