Номер 808, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Движения, дополнительные задачи. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 808, страница 193.

Условие.

808. В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что

где V — объём многогранника, h — его высота, S₁ и S₂ — площади оснований, a S₃ — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудалённой от них.

Решение 2.

Решение 6.

Рассматриваемый многогранник, у которого основаниями служат два многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, а боковыми гранями являются трапеции, треугольники или параллелограммы, называется призмоидом. Для доказательства формулы объема, известной как формула Симпсона для объемов, воспользуемся методом интегрирования, основанным на принципе Кавальери.

Доказательство

Введем систему координат так, чтобы плоскость одного основания (с площадью $S_1$) совпадала с плоскостью $z=0$, а плоскость другого основания (с площадью $S_2$) — с плоскостью $z=h$. Тогда высота призмоида $h$ — это расстояние между этими плоскостями. Сечение, равноудаленное от оснований, будет находиться в плоскости $z=h/2$, и его площадь равна $S_3$.

Ключевым свойством призмоида является то, что площадь $S(z)$ его поперечного сечения плоскостью, параллельной основаниям и находящейся на высоте $z$ от нижнего основания, является квадратичной функцией от $z$. То есть, $S(z) = az^2 + bz + c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые постоянные коэффициенты.

Используем известные значения площади для нахождения этих коэффициентов. У нас есть три условия:
1. При $z=0$: $S(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Поскольку $S(0) = S_1$, получаем $c = S_1$.
2. При $z=h$: $S(h) = ah^2 + bh + c = S_2$.
3. При $z=h/2$: $S(h/2) = a(h/2)^2 + b(h/2) + c = S_3$.

Подставим $c=S_1$ в два последних уравнения и получим систему для определения $a$ и $b$:
(i) $ah^2 + bh = S_2 - S_1$
(ii) $a\frac{h^2}{4} + b\frac{h}{2} = S_3 - S_1$

Согласно принципу Кавальери, объем тела можно найти, проинтегрировав площадь его поперечного сечения по высоте от $z=0$ до $z=h$:
$V = \int_0^h S(z) dz = \int_0^h (az^2 + bz + c) dz$.
Вычисляем интеграл:
$V = \left[ \frac{az^3}{3} + \frac{bz^2}{2} + cz \right]_0^h = \frac{ah^3}{3} + \frac{bh^2}{2} + ch$.

Для того чтобы выразить этот объем через $S_1$, $S_2$ и $S_3$, преобразуем полученное выражение, вынеся за скобки $h/6$:
$V = \frac{h}{6} (2ah^2 + 3bh + 6c)$.

Теперь решим систему уравнений. Умножим второе уравнение системы (ii) на 4, чтобы получить $ah^2 + 2bh = 4S_3 - 4S_1$. Теперь вычтем из него первое уравнение (i):
$(ah^2 + 2bh) - (ah^2 + bh) = (4S_3 - 4S_1) - (S_2 - S_1)$,
что дает $bh = 4S_3 - 3S_1 - S_2$.

Подставим найденное выражение для $bh$ в первое уравнение системы (i):
$ah^2 + (4S_3 - 3S_1 - S_2) = S_2 - S_1$,
откуда $ah^2 = (S_2 - S_1) - (4S_3 - 3S_1 - S_2) = 2S_1 + 2S_2 - 4S_3$.

Теперь у нас есть все необходимые компоненты: $c=S_1$, $bh = 4S_3 - 3S_1 - S_2$ и $ah^2 = 2S_1 + 2S_2 - 4S_3$. Подставим их в формулу для объема $V = \frac{h}{6} (2ah^2 + 3bh + 6c)$:
$V = \frac{h}{6} [2(2S_1 + 2S_2 - 4S_3) + 3(4S_3 - 3S_1 - S_2) + 6S_1]$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$V = \frac{h}{6} [ (4S_1 + 4S_2 - 8S_3) + (12S_3 - 9S_1 - 3S_2) + 6S_1 ]$
$V = \frac{h}{6} [ (4S_1 - 9S_1 + 6S_1) + (4S_2 - 3S_2) + (-8S_3 + 12S_3) ]$.

Окончательно получаем:
$V = \frac{h}{6} (S_1 + S_2 + 4S_3)$.
Таким образом, формула доказана.

Ответ: Утверждение доказано. Объем многогранника действительно выражается формулой $V = \frac{h}{6}(S_1 + S_2 + 4S_3)$.