Номер 796, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

796. Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямая $l$, не пересекающая этот шар. Это означает, что расстояние от центра шара $O$ до прямой $l$ больше радиуса шара $R$.

Обозначим через $d$ расстояние от точки $O$ до прямой $l$. Пусть $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $l$. Тогда длина отрезка $OP$ равна $d$, то есть $|OP| = d$. По условию, $d > R$.

Рассмотрим произвольную плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $l$ и пересекает шар. Сечением шара плоскостью $\alpha$ является круг. Обозначим центр этого круга через $C$.

По определению, центр сечения $C$ является ортогональной проекцией центра шара $O$ на плоскость сечения $\alpha$. Это значит, что отрезок $OC$ перпендикулярен плоскости $\alpha$: $OC \perp \alpha$.

Так как прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$), то из условия $OC \perp \alpha$ следует, что отрезок $OC$ перпендикулярен прямой $l$: $OC \perp l$.

Рассмотрим плоскость $\beta$, которая проходит через точку $O$ и перпендикулярна прямой $l$. Все точки $X$, для которых отрезок $OX$ перпендикулярен прямой $l$, лежат в этой плоскости $\beta$. Следовательно, точка $C$ (центр сечения) должна лежать в плоскости $\beta$. Точка $P$ (основание перпендикуляра из $O$ на $l$) также лежит в плоскости $\beta$.

Теперь рассмотрим геометрическое место точек $C$ в плоскости $\beta$. Точки $P$ и $C$ лежат в плоскости сечения $\alpha$. Следовательно, прямая $PC$ также лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку $OC \perp \alpha$, то отрезок $OC$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $C$. В частности, $OC \perp PC$.

Таким образом, в плоскости $\beta$ треугольник $\triangle OPC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle OCP = 90^\circ$). Геометрическое место точек $C$ в плоскости $\beta$, для которых угол $\angle OCP$ является прямым, есть окружность, построенная на отрезке $OP$ как на диаметре.

Это свойство выполняется для центра любого сечения. Однако не каждая точка на этой окружности является центром действительного сечения. Плоскость $\alpha$ пересекает шар тогда и только тогда, когда расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$ не превышает радиуса шара $R$. Это расстояние равно длине отрезка $OC$. Следовательно, должно выполняться условие: $|OC| \le R$.

Итак, искомое множество центров $C$ — это точки, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:
1. Они лежат на окружности с диаметром $OP$ в плоскости $\beta$.
2. Расстояние от них до точки $O$ не превышает $R$, то есть $|OC| \le R$.

Это множество является пересечением окружности с диаметром $OP$ и замкнутого круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$ (этот круг является сечением исходного шара плоскостью $\beta$). Так как по условию $|OP| = d > R$, точка $P$ находится вне этого круга, а точка $O$ является его центром. Окружность с диаметром $OP$ проходит через точки $O$ и $P$.

Следовательно, искомое множество точек является дугой окружности с диаметром $OP$. Эта дуга расположена внутри шара (или на его границе), симметрична относительно прямой $OP$ и проходит через центр шара $O$. Концевые точки этой дуги лежат на пересечении окружности с диаметром $OP$ и сферы радиуса $R$ с центром в $O$.

Ответ: Искомое множество центров сечений — это дуга окружности. Эта окружность лежит в плоскости, проходящей через центр шара перпендикулярно данной прямой, и построена на отрезке, соединяющем центр шара с ближайшей к нему точкой данной прямой, как на диаметре. Искомая дуга отсекается от этой окружности сферой данного шара и содержит центр шара.