Номер 791, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

791. Из точки А исходят четыре луча AB, AC, AD и АЕ так, что ∠BAC = 60°, ∠BAD = ∠DAC = 45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ.

Для решения задачи введем декартову систему координат с началом в точке A.

1. Построение системы координат и определение векторов.

Поскольку луч AE перпендикулярен плоскости ABD, направим ось Oz вдоль луча AE. Тогда плоскость ABD будет совпадать с плоскостью Oxy. Точка A будет иметь координаты $(0, 0, 0)$.

Выберем единичный вектор $\vec{e}$ вдоль луча AE (оси Oz):

$\vec{e} = (0, 0, 1)$

Расположим луч AD в плоскости Oxy вдоль оси Ox. Тогда единичный вектор $\vec{d}$ вдоль луча AD будет:

$\vec{d} = (1, 0, 0)$

Луч AB также лежит в плоскости Oxy. По условию, угол между лучами AB и AD равен $\angle BAD = 45^\circ$. Единичный вектор $\vec{b}$ вдоль луча AB можно записать как:

$\vec{b} = (\cos(45^\circ), \sin(45^\circ), 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$

2. Нахождение координат вектора луча AC.

Пусть $\vec{c} = (x, y, z)$ — единичный вектор, направленный вдоль луча AC. Его координаты можно найти, используя условия для углов $\angle DAC$ и $\angle BAC$.

Угол между лучами AC и AD равен $\angle DAC = 45^\circ$. Скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$ равно косинусу угла между ними:

$\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}| |\vec{d}| \cos(45^\circ)$

$(x, y, z) \cdot (1, 0, 0) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол между лучами AC и AB равен $\angle BAC = 60^\circ$. Аналогично, запишем скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{b}$:

$\vec{c} \cdot \vec{b} = |\vec{c}| |\vec{b}| \cos(60^\circ)$

$(x, y, z) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}$

$x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + z \cdot 0 = \frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y) = \frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в это уравнение:

$\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+y) = \frac{1}{2}$

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}y = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}y = \frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}y = 0 \implies y = 0$

Теперь найдем координату z, используя то, что $\vec{c}$ — единичный вектор, то есть $|\vec{c}|=1$ или $x^2+y^2+z^2=1$:

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 0^2 + z^2 = 1$

$\frac{2}{4} + z^2 = 1$

$\frac{1}{2} + z^2 = 1$

$z^2 = \frac{1}{2} \implies z = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку задача описывает определенное геометрическое расположение лучей, выберем положительное значение $z = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что соответствует расположению луча AC в том же полупространстве относительно плоскости ABD, что и луч AE. Таким образом, вектор $\vec{c}$:

$\vec{c} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

3. Нахождение угла CAE.

Искомый угол $\angle CAE$ — это угол между лучами AC и AE, то есть между векторами $\vec{c}$ и $\vec{e}$. Найдем косинус этого угла через их скалярное произведение:

$\cos(\angle CAE) = \frac{\vec{c} \cdot \vec{e}}{|\vec{c}| |\vec{e}|}$

$\cos(\angle CAE) = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (0, 0, 1)}{1 \cdot 1}$

$\cos(\angle CAE) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда находим угол:

$\angle CAE = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.