Номер 786, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

786. Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим свойства правильного икосаэдра и построим на их основе новый многогранник, соединяя центры его граней. Такой многогранник называется двойственным (или дуальным) к исходному. Нам нужно показать, что многогранник, двойственный к правильному икосаэдру, является правильным додекаэдром. Для этого проверим, соответствует ли получаемый многогранник определению правильного додекаэдра, который представляет собой выпуклый многогранник, состоящий из 12 равных правильных пятиугольников, и в каждой вершине которого сходится по 3 ребра.

Сначала определим, сколько вершин будет у нового многогранника. По построению, его вершины являются центрами граней исходного икосаэдра. Правильный икосаэдр имеет 20 граней, каждая из которых — правильный треугольник. Следовательно, новый многогранник будет иметь 20 вершин, что совпадает с количеством вершин у правильного додекаэдра.

Теперь определим, какие фигуры будут являться гранями нового многогранника. Рассмотрим произвольную вершину $V$ исходного икосаэдра. В каждой вершине правильного икосаэдра сходится 5 граней-треугольников. Центры этих пяти граней, назовем их $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$, являются вершинами нового многогранника. Поскольку икосаэдр — правильный многогранник, вокруг оси, проходящей через вершину $V$ и центр икосаэдра, существует симметрия поворота на угол $360^\circ/5 = 72^\circ$. Эта симметрия означает, что точки $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ лежат в одной плоскости и образуют правильный пятиугольник. Этот пятиугольник и будет являться гранью нового многогранника.

Поскольку грань в новом многограннике образуется для каждой вершины исходного икосаэдра, а у икосаэдра 12 вершин, то у нового многогранника будет 12 граней. Так как все вершины икосаэдра эквивалентны из-за его симметрии, все 12 полученных граней-пятиугольников будут равными между собой. Это полностью соответствует строению правильного додекаэдра (12 равных правильных пятиугольных граней).

Наконец, рассмотрим строение вершин нового многогранника. Каждая его вершина (например, $C_1$) является центром одной из треугольных граней исходного икосаэдра. Эта треугольная грань имеет 3 вершины ($V_a, V_b, V_c$). Каждая из этих вершин икосаэдра порождает одну из пятиугольных граней нового многогранника. Таким образом, вершина $C_1$ принадлежит трем различным пятиугольным граням. Это означает, что в каждой вершине нового многогранника сходятся по 3 грани, что также является свойством правильного додекаэдра.

Итак, мы построили многогранник, который имеет 20 вершин, 12 равных граней в виде правильных пятиугольников, и в каждой его вершине сходится по 3 грани. Эти свойства однозначно определяют правильный додекаэдр.

Ответ: Утверждение доказано. Многогранник, построенный на центрах граней правильного икосаэдра, является двойственным ему. Этот многогранник имеет 20 вершин (равно числу граней икосаэдра), 12 граней (равно числу вершин икосаэдра), и эти грани являются правильными пятиугольниками (поскольку в каждой вершине икосаэдра сходится 5 граней). Данная совокупность свойств однозначно определяет правильный додекаэдр.