Номер 793, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

793. Три боковых ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими рёбрами и пересекающая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть дан тетраэдр $SABC$, у которого боковые ребра, выходящие из общей вершины $S$, равны: $SA = SB = SC$. Обозначим плоскость основания $ABC$ как $\alpha$.

Рассмотрим задачу в векторном виде. Введем векторы, соответствующие боковым ребрам: $\vec{SA}$, $\vec{SB}$, $\vec{SC}$. По условию, их длины равны: $|\vec{SA}| = |\vec{SB}| = |\vec{SC}|$. Обозначим эту длину как $l$.

Пусть $p$ — это прямая, которая образует равные углы с ребрами $SA$, $SB$ и $SC$. Обозначим направляющий вектор этой прямой как $\vec{d}$, а равные углы как $\gamma$.

Угол между прямой и ребром определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус угла $\gamma$ между прямой $p$ и каждым из ребер можно выразить через скалярное произведение:
$\cos\gamma = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SA}}{|\vec{d}| \cdot |\vec{SA}|} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SA}}{|\vec{d}| \cdot l}$
$\cos\gamma = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SB}}{|\vec{d}| \cdot |\vec{SB}|} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SB}}{|\vec{d}| \cdot l}$
$\cos\gamma = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SC}}{|\vec{d}| \cdot |\vec{SC}|} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SC}}{|\vec{d}| \cdot l}$

Так как углы $\gamma$ равны, то равны и их косинусы. Приравнивая правые части выражений, получаем:
$\frac{\vec{d} \cdot \vec{SA}}{|\vec{d}| \cdot l} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SB}}{|\vec{d}| \cdot l} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{SC}}{|\vec{d}| \cdot l}$

Умножив все части равенства на $|\vec{d}| \cdot l$, мы приходим к равенству скалярных произведений:
$\vec{d} \cdot \vec{SA} = \vec{d} \cdot \vec{SB} = \vec{d} \cdot \vec{SC}$

Из этого следует, что:
$\vec{d} \cdot \vec{SA} - \vec{d} \cdot \vec{SB} = 0 \implies \vec{d} \cdot (\vec{SA} - \vec{SB}) = 0$
$\vec{d} \cdot \vec{SB} - \vec{d} \cdot \vec{SC} = 0 \implies \vec{d} \cdot (\vec{SB} - \vec{SC}) = 0$

Рассмотрим разности векторов. По правилу вычитания векторов:
$\vec{SA} - \vec{SB} = \vec{BA}$
$\vec{SB} - \vec{SC} = \vec{CB}$

Подставив эти результаты в предыдущие уравнения, получим:
$\vec{d} \cdot \vec{BA} = 0$
$\vec{d} \cdot \vec{CB} = 0$

Эти равенства означают, что направляющий вектор $\vec{d}$ прямой $p$ ортогонален (перпендикулярен) векторам $\vec{BA}$ и $\vec{CB}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CB}$ — это векторы, лежащие на сторонах основания тетраэдра $ABC$. Они лежат в плоскости основания $\alpha$ и не коллинеарны (поскольку $A, B, C$ — вершины треугольника).

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым (или, в общем случае, двум неколлинеарным векторам), лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Следовательно, прямая $p$ перпендикулярна плоскости основания $\alpha$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, образующая равные углы с тремя равными боковыми ребрами тетраэдра, перпендикулярна плоскости его основания.