Номер 792, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

792. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра перпендикулярны .

Для доказательства этого утверждения, известного как теорема об ортоцентрическом тетраэдре, мы будем использовать векторный метод. Пусть $A, B, C, D$ — вершины тетраэдра, а $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — их радиус-векторы относительно некоторого начала координат $O$.

Доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности.

Доказательство необходимости (?)

Предположим, что все четыре высоты тетраэдра пересекаются в одной точке $H$ (ортоцентре). Докажем, что его противоположные рёбра перпендикулярны.

Примем точку пересечения высот $H$ за начало координат. Тогда радиус-вектор точки $H$ равен $\vec{h} = \vec{0}$. Радиус-векторы вершин тетраэдра будут $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

Высота, опущенная из вершины $A$, проходит через точку $H$. Это означает, что вектор $\vec{HA} = \vec{a}$ перпендикулярен плоскости грани $BCD$. Следовательно, вектор $\vec{a}$ перпендикулярен любым векторам, лежащим в этой плоскости, в частности, векторам рёбер $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$ и $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.

Условие перпендикулярности в векторной форме (равенство нулю скалярного произведения) даёт:

$\vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Аналогично, так как высота из вершины $B$ проходит через $H$, вектор $\vec{HB} = \vec{b}$ перпендикулярен плоскости $ACD$. Отсюда:

$\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Рассматривая таким же образом высоты из вершин $C$ и $D$, мы получим следующие группы равенств:

Из высоты из $A$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{d}$

Из высоты из $B$: $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d}$

Из высоты из $C$: $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{d}$

Из высоты из $D$: $\vec{d} \cdot \vec{a} = \vec{d} \cdot \vec{b} = \vec{d} \cdot \vec{c}$

Теперь проверим перпендикулярность противоположных рёбер. Пары противоположных рёбер: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$, $(AD, BC)$.

Для пары $(AB, CD)$ имеем векторы $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$. Их скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

Используя выведенные выше соотношения ($\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ и $\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{c}$), получаем:

$(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{c}) + (\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$.

Следовательно, $AB \perp CD$.

Аналогично для пары $(AC, BD)$ с векторами $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ и $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя соотношения $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ и $\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b}$, получаем:

$(\vec{c} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.

Следовательно, $AC \perp BD$.

И для пары $(AD, BC)$ с векторами $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = (\vec{d} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя соотношения $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{b}$ и $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$, получаем:

$(\vec{d} \cdot \vec{b}) - (\vec{d} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.

Следовательно, $AD \perp BC$.

Таким образом, если высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то его противоположные рёбра попарно перпендикулярны.

Доказательство достаточности (?)

Теперь предположим, что противоположные рёбра тетраэдра $ABCD$ перпендикулярны. Докажем, что его высоты пересекаются в одной точке.

Запишем условия перпендикулярности рёбер в векторной форме:

$AB \perp CD \implies (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0$

$AC \perp BD \implies (\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$

$AD \perp BC \implies (\vec{d} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$

Выберем начало координат в вершине $D$, т.е. $\vec{d} = \vec{0}$. Тогда условия примут вид:

$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (-\vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$

$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (-\vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{b}$

$(-\vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Из этих равенств следует, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$. Обозначим это общее значение как $k$.

Докажем существование точки $H$ (с радиус-вектором $\vec{h}$), которая лежит на всех четырех высотах. Точка $H$ лежит на высоте из вершины $X$, если прямая $XH$ перпендикулярна противолежащей грани.

1. $H$ лежит на высоте из $A \iff \vec{AH} \perp \text{плоскости } BCD$. В нашей системе координат (с $\vec{d}=\vec{0}$) плоскость $BCD$ содержит векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Условие перпендикулярности $\vec{AH} \perp BCD$ эквивалентно:

$(\vec{h} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0 \implies \vec{h} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} = k$

$(\vec{h} - \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0 \implies \vec{h} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} = k$

2. $H$ лежит на высоте из $B \iff \vec{BH} \perp \text{плоскости } ACD$. Плоскость $ACD$ содержит векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$. Условие перпендикулярности $\vec{BH} \perp ACD$ эквивалентно:

$(\vec{h} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \implies \vec{h} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{a} = k$

3. $H$ лежит на высоте из $C \iff \vec{CH} \perp \text{плоскости } ABD$. Плоскость $ABD$ содержит векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Условие перпендикулярности $\vec{CH} \perp ABD$ эквивалентно:

$(\vec{h} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = 0 \implies \vec{h} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{a} = k$

Таким образом, для того чтобы точка $H$ была точкой пересечения высот из вершин $A, B, C$, её радиус-вектор $\vec{h}$ должен удовлетворять системе уравнений:

$$ \begin{cases} \vec{h} \cdot \vec{a} = k \\ \vec{h} \cdot \vec{b} = k \\ \vec{h} \cdot \vec{c} = k \end{cases} $$

Это система трёх линейных уравнений относительно трёх компонент вектора $\vec{h}=(h_x, h_y, h_z)$. Определитель матрицы этой системы равен смешанному произведению $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$. Так как $A, B, C, D$ — вершины тетраэдра, то векторы $\vec{a}=\vec{DA}, \vec{b}=\vec{DB}, \vec{c}=\vec{DC}$ не компланарны, и их смешанное произведение не равно нулю. Следовательно, система имеет единственное решение $\vec{h}$. Это доказывает, что высоты, опущенные из вершин $A, B, C$, пересекаются в единственной точке $H$.

Осталось доказать, что и четвертая высота, из вершины $D$, также проходит через точку $H$. Для этого нужно показать, что прямая $DH$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Вектор этой прямой - $\vec{DH} = \vec{h} - \vec{d} = \vec{h}$. Плоскость $ABC$ содержит векторы $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$. Проверим перпендикулярность:

$\vec{h} \cdot \vec{AB} = \vec{h} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{h} \cdot \vec{a} = k - k = 0$

$\vec{h} \cdot \vec{AC} = \vec{h} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{a} = k - k = 0$

Поскольку вектор $\vec{h}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам плоскости $ABC$, он перпендикулярен и самой плоскости. Значит, прямая $DH$ является высотой тетраэдра, опущенной из вершины $D$.

Таким образом, все четыре высоты тетраэдра пересекаются в одной точке $H$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.