Номер 797, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

797. Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $P$ — это точка, из которой к сфере можно провести три попарно перпендикулярные касательные прямые. Обозначим точки касания этих прямых со сферой как $T_1, T_2$ и $T_3$.

Для любой касательной, проведенной из точки $P$ к сфере, радиус, проведенный из центра сферы $O$ в точку касания $T$, перпендикулярен этой касательной. Это означает, что треугольник $\triangle OPT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$. По теореме Пифагора для такого треугольника имеем:

$|OP|^2 = |OT|^2 + |PT|^2$

Поскольку $|OT| = R$ (радиус сферы), то $|OP|^2 = R^2 + |PT|^2$. Длина отрезка касательной $|PT|$ зависит только от расстояния $|OP|$ и радиуса $R$. Следовательно, для трех наших касательных длины отрезков от точки $P$ до точек касания будут равны:

$|PT_1| = |PT_2| = |PT_3|$

Обозначим эту общую длину через $d$. Таким образом, $d^2 = |OP|^2 - R^2$.

Теперь рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, начало которой находится в точке $P$, а оси $Ox, Oy, Oz$ направлены вдоль трех попарно перпендикулярных касательных. В этой системе координат точка $P$ имеет координаты $(0, 0, 0)$. Точки касания, находящиеся на осях на расстоянии $d$ от начала координат, будут иметь координаты (считая, что они лежат на положительных полуосях):

$T_1(d, 0, 0)$, $T_2(0, d, 0)$, $T_3(0, 0, d)$

Пусть в этой системе координат центр сферы $O$ имеет координаты $(x_O, y_O, z_O)$. Вектор, соединяющий центр сферы с точкой касания $T_1$, имеет вид $\vec{OT_1} = (d - x_O, -y_O, -z_O)$. Поскольку этот вектор перпендикулярен касательной в точке $T_1$ (то есть оси $Ox$, направляющий вектор которой $(1,0,0)$), их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{OT_1} \cdot (1, 0, 0) = (d-x_O) \cdot 1 + (-y_O) \cdot 0 + (-z_O) \cdot 0 = 0$

Отсюда следует, что $x_O = d$.

Аналогично, из условия перпендикулярности векторов $\vec{OT_2}$ и $\vec{OT_3}$ соответствующим осям $Oy$ и $Oz$ получаем $y_O = d$ и $z_O = d$.

Таким образом, в построенной системе координат центр сферы $O$ имеет координаты $(d, d, d)$.

Теперь мы можем найти квадрат расстояния от точки $P(0,0,0)$ до точки $O(d,d,d)$:

$|OP|^2 = (d-0)^2 + (d-0)^2 + (d-0)^2 = 3d^2$

Мы получили два выражения для величины $|OP|^2$:

1. $|OP|^2 = R^2 + d^2$ (из теоремы Пифагора)
2. $|OP|^2 = 3d^2$ (из координат в специальной системе)

Приравнивая правые части этих равенств, получаем уравнение:

$R^2 + d^2 = 3d^2$

$R^2 = 2d^2$, откуда $d^2 = \frac{R^2}{2}$.

Подставим это значение $d^2$ в выражение для $|OP|^2$:

$|OP|^2 = 3d^2 = 3 \cdot \frac{R^2}{2} = \frac{3}{2}R^2$

Это означает, что расстояние от любой точки $P$, удовлетворяющей условию задачи, до центра данной сферы $O$ является постоянной величиной:

$|OP| = \sqrt{\frac{3}{2}R^2} = R\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{R\sqrt{6}}{2}$

Множество всех точек пространства, находящихся на постоянном расстоянии от фиксированной точки, является сферой. Следовательно, искомое множество точек — это сфера, концентрическая с данной.

Ответ: Искомое множество точек — это сфера, концентрическая (имеющая общий центр) с данной сферой, радиус которой равен $R\sqrt{\frac{3}{2}}$, где $R$ — радиус данной сферы.