Номер 789, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

789. Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Пусть дан параллелепипед. Выберем одну из его вершин в качестве начала отсчета $O$ и обозначим векторы, совпадающие с ребрами, выходящими из этой вершины, как $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Параллелепипед имеет 12 ребер: 4 ребра, соответствующие вектору $\vec{a}$ (и равные ему по длине), 4 ребра, соответствующие вектору $\vec{b}$, и 4 ребра, соответствующие вектору $\vec{c}$. Длины этих ребер равны $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$. Сумма квадратов длин всех двенадцати ребер $S_{ребер}$ равна:

$S_{ребер} = 4|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 = 4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$

Теперь найдем четыре главные диагонали параллелепипеда. Они соединяют противоположные вершины. Выразим векторы этих диагоналей ($\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}, \vec{d_4}$) через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{d_1} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$

$\vec{d_2} = -\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$

$\vec{d_3} = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$

$\vec{d_4} = \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$

Найдем сумму квадратов длин этих диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{v}^2$). Возведем в квадрат длины каждого из векторов диагоналей:

$|\vec{d_1}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + 2(\vec{a}\cdot\vec{c}) + 2(\vec{b}\cdot\vec{c})$

$|\vec{d_2}|^2 = (-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) - 2(\vec{a}\cdot\vec{c}) + 2(\vec{b}\cdot\vec{c})$

$|\vec{d_3}|^2 = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + 2(\vec{a}\cdot\vec{c}) - 2(\vec{b}\cdot\vec{c})$

$|\vec{d_4}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) - 2(\vec{a}\cdot\vec{c}) - 2(\vec{b}\cdot\vec{c})$

Теперь сложим эти четыре выражения, чтобы найти сумму квадратов длин диагоналей $S_{диагоналей}$:

$S_{диагоналей} = |\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 + |\vec{d_3}|^2 + |\vec{d_4}|^2$

При сложении слагаемые со скалярными произведениями $(\vec{a}\cdot\vec{b})$, $(\vec{a}\cdot\vec{c})$ и $(\vec{b}\cdot\vec{c})$ взаимно уничтожаются, так как сумма их коэффициентов равна нулю (например, для $2(\vec{a}\cdot\vec{b})$ имеем $1 - 1 - 1 + 1 = 0$). Остаются только слагаемые с квадратами модулей векторов, каждое из которых встречается четыре раза:

$S_{диагоналей} = (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) + (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) + (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) + (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$

$S_{диагоналей} = 4|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 = 4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$

Сравнивая полученный результат с суммой квадратов ребер, мы видим, что они равны:

$S_{диагоналей} = S_{ребер}$

Таким образом, утверждение, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер, доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов диагоналей и сумма квадратов ребер равны $4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$, где $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ — векторы ребер, выходящих из одной вершины.