Номер 782, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

782. Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что такой прямоугольный параллелепипед $P$ существует. Пусть он составлен из конечного набора попарно различных кубов $K_1, K_2, \dots, K_n$ с длинами ребер $c_1, c_2, \dots, c_n$ соответственно, где все $c_i$ различны.

Расположим параллелепипед $P$ в системе координат так, чтобы его основание лежало в плоскости $z=0$. Это основание представляет собой прямоугольник. Оно полностью покрыто основаниями некоторых кубов из нашего набора. Назовем эти кубы "кубами первого слоя".

Среди всех кубов первого слоя, стоящих на основании $z=0$, выберем куб с наименьшей длиной ребра. Обозначим этот куб как $K_{min}$, а его ребро как $c_{min}$. Основание куба $K_{min}$ — это квадрат со стороной $c_{min}$ в плоскости $z=0$.

Рассмотрим верхнюю грань куба $K_{min}$. Это квадрат со стороной $c_{min}$, расположенный на высоте $z=c_{min}$. Поскольку $K_{min}$ — самый маленький куб среди тех, что стоят на основании $z=0$, все соседние с ним кубы первого слоя имеют ребра большей длины. Это означает, что верхняя грань куба $K_{min}$ окружена со всех четырех сторон вертикальными гранями более высоких кубов. Она образует дно своеобразного "колодца".

Эта верхняя грань куба $K_{min}$ должна быть полностью покрыта основаниями других кубов из нашего набора, чтобы в параллелепипеде не было пустот. Пусть это будут кубы "второго слоя", стоящие на $K_{min}$.

Каждый куб второго слоя, стоящий на $K_{min}$, должен полностью лежать на его верхней грани. Следовательно, ребро любого такого куба должно быть строго меньше, чем $c_{min}$. Если бы ребро какого-либо куба второго слоя было больше или равно $c_{min}$, он бы не поместился в "колодец", ограниченный более высокими соседними кубами первого слоя.

Таким образом, мы получили новую задачу: квадрат со стороной $c_{min}$ разбит на основания кубов, ребра которых попарно различны и строго меньше $c_{min}$.

Теперь повторим наши рассуждения для этого нового набора кубов, покрывающих $K_{min}$. Среди них также выберем куб с наименьшим ребром, назовем его $K'_{min}$ с ребром $c'_{min}$. По той же логике, его верхняя грань будет окружена более высокими кубами (из этого же набора) и должна быть покрыта основаниями еще более мелких кубов. Длины ребер этих новых кубов будут строго меньше, чем $c'_{min}$.

Этот процесс можно продолжать бесконечно. Мы строим последовательность кубов $K_{min}, K'_{min}, K''_{min}, \dots$ с длинами ребер $c_{min} > c'_{min} > c''_{min} > \dots$. Эта последовательность состоит из различных кубов из исходного набора.

Получается бесконечная последовательность различных кубов с убывающими размерами. Но по нашему начальному предположению, мы использовали конечное число кубов. Это противоречие. Метод, который мы использовали, называется методом бесконечного спуска.

Следовательно, наше исходное предположение о том, что можно составить прямоугольный параллелепипед из конечного числа попарно различных кубов, неверно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.