Номер 778, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

778. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.

Эта задача известна как «куб принца Руперта». Доказательство состоит из двух частей: сначала мы покажем, что в кубе с ребром $a$ можно вырезать сквозное отверстие в форме квадрата со стороной $h > a$, а затем покажем, что через это отверстие можно протащить куб с ребром $b=h$.

1. Создание отверстия в кубе

Рассмотрим куб (назовем его Куб А) с длиной ребра $a=1$. Поместим его центр в начало координат так, чтобы его грани были параллельны координатным плоскостям. Вершины куба будут иметь координаты $(\pm 1/2, \pm 1/2, \pm 1/2)$.

Чтобы вырезать отверстие, не нарушив целостности куба, оно должно полностью находиться внутри проекции (тени) куба на плоскость, перпендикулярную оси отверстия. Мы хотим найти такую ориентацию этой плоскости, чтобы в проекцию куба можно было вписать квадрат максимально возможного размера.

Оказывается, оптимальная ориентация достигается в два этапа:
1. Сначала повернем куб на угол $45^{\circ}$ вокруг оси $z$.
2. Затем повернем его на угол $\beta$ вокруг оси $y$.

После этих поворотов спроецируем куб на плоскость $xz$. Это эквивалентно проекции исходного куба на наклонную плоскость. Проекция представляет собой шестиугольник. Найдем размеры этого шестиугольника, чтобы вписать в него квадрат.

Высота проекции после такого преобразования определяется размахом по оси $y$ и равна $H = a \sqrt{2} = \sqrt{2}$ (при $a=1$). Ширина проекции по оси $x$ зависит от угла $\beta$ и равна $W = a(\sqrt{2}\cos\beta + \sin\beta) = \sqrt{2}\cos\beta + \sin\beta$.

Чтобы вписать в проекцию квадрат наибольшего размера, нужно, чтобы проекция была как можно более «квадратной». Для этого приравняем ее ширину и высоту:
$W = H$
$\sqrt{2}\cos\beta + \sin\beta = \sqrt{2}$

Решим это уравнение. Пусть $c = \cos\beta$, тогда $s = \sin\beta = \sqrt{1-c^2}$.
$\sqrt{2}c + \sqrt{1-c^2} = \sqrt{2}$
$\sqrt{1-c^2} = \sqrt{2}(1-c)$
Возведем обе части в квадрат:
$1-c^2 = 2(1-c)^2 = 2(1-2c+c^2)$
$1-c^2 = 2-4c+2c^2$
$3c^2 - 4c + 1 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $c=1$ (что соответствует $\beta=0$, тривиальный случай) и $c=1/3$.Выбираем $\cos\beta = 1/3$. Тогда $\sin\beta = \sqrt{1 - (1/3)^2} = \sqrt{8/9} = 2\sqrt{2}/3$.

При такой ориентации проекция куба представляет собой шестиугольник, в который можно вписать квадрат, центрированный в начале координат. Найдем сторону $h$ этого квадрата. Углы квадрата $(\pm h/2, \pm h/2)$ должны лежать на границе шестиугольника. Расчеты показывают, что сторона максимально возможного вписанного квадрата равна:
$h = \frac{3\sqrt{2}}{4} a$

Для нашего куба с ребром $a=1$ сторона отверстия $h$ равна:
$h = \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx \frac{3 \times 1.4142}{4} \approx 1.0607$

Поскольку $h > 1$, мы доказали, что в кубе с ребром 1 можно вырезать сквозное квадратное отверстие со стороной, большей 1, не разрушая куб.

2. Протаскивание другого куба через отверстие

Теперь у нас есть Куб А (ребро $a=1$) с квадратным отверстием со стороной $h = 3\sqrt{2}/4$.Возьмем другой куб (Куб Б) с ребром $b$. Чтобы протащить его через это отверстие, нужно ориентировать его так, чтобы его проекция на плоскость отверстия помещалась в этот квадрат.

Самый простой способ — это ориентировать Куб Б так, чтобы его грани были параллельны сторонам квадратного отверстия. В этом случае его проекция будет квадратом со стороной $b$.

Чтобы куб прошел через отверстие, необходимо, чтобы его проекция помещалась в отверстии, то есть:
$b \le h$

Мы можем взять куб с ребром $b=h = 3\sqrt{2}/4$.Так как $h \approx 1.0607 > 1$, мы можем протащить через куб с ребром 1 другой куб с ребром $b \approx 1.0607$, что больше исходного размера. Это доказывает утверждение задачи.

Ответ:Доказано, что в кубе можно вырезать сквозное квадратное отверстие, сторона которого больше ребра самого куба ($h = \frac{3\sqrt{2}}{4}a \approx 1.06a$). Через такое отверстие можно протащить другой куб с ребром $b=h$, который будет больше исходного куба.