Номер 771, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

771. Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая двугранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Рассмотрим ребро $AB$ и двугранный угол при этом ребре, образованный гранями $ABC$ и $ABD$. Пусть плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и делит этот двугранный угол пополам. Эта плоскость пересекает противоположное ребро $CD$ в точке $M$. Таким образом, плоскость $\alpha$ — это плоскость $(ABM)$. Нам необходимо доказать, что точка $M$ делит ребро $CD$ в отношении, равном отношению площадей граней $ABC$ и $ABD$, то есть: $$ \frac{CM}{MD} = \frac{S_{ABC}}{S_{ABD}} $$

Для доказательства воспользуемся методом объемов. Плоскость $(ABM)$ разбивает тетраэдр $ABCD$ на два тетраэдра: $ABCM$ и $ABDM$. Выразим отношение их объемов $\frac{V_{ABCM}}{V_{ABDM}}$ двумя различными способами.

С одной стороны, рассмотрим эти тетраэдры с общей вершиной $M$ и основаниями $ABC$ и $ABD$. Объемы тетраэдров $MABC$ и $MABD$ выражаются как $V_{MABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_1$ и $V_{MABD} = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h_2$, где $h_1$ и $h_2$ — это высоты, опущенные из точки $M$ на плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ соответственно. Так как точка $M$ лежит на биссекторной плоскости $\alpha$ двугранного угла при ребре $AB$, она равноудалена от его граней, то есть $h_1 = h_2$. Следовательно, отношение объемов равно отношению площадей оснований: $$ \frac{V_{ABCM}}{V_{ABDM}} = \frac{S_{ABC}}{S_{ABD}} $$

С другой стороны, рассмотрим те же тетраэдры $ABCM$ и $ABDM$ с общей вершиной $A$ и основаниями $BCM$ и $BDM$. Эти основания лежат в одной плоскости $(BCD)$, поэтому высота, опущенная из вершины $A$ на эту плоскость, будет для них общей. Отношение объемов будет равно отношению площадей оснований: $\frac{V_{ABCM}}{V_{ABDM}} = \frac{S_{BCM}}{S_{BDM}}$. Треугольники $BCM$ и $BDM$ имеют общую высоту из вершины $B$ на прямую $CD$, поэтому отношение их площадей равно $\frac{CM}{MD}$. Этот путь также ведет к решению, но рассмотрим другой, более симметричный.

Рассмотрим тетраэдры $ABCM$ и $ABDM$ с общей вершиной $B$ и основаниями $ACM$ и $ADM$. Эти основания лежат в одной плоскости $(ACD)$. Высота, опущенная из вершины $B$ на эту плоскость, будет общей для обоих тетраэдров. Обозначим ее $h_B$. Тогда объемы тетраэдров $BACM$ и $BADM$ равны $V_{BACM} = \frac{1}{3} S_{ACM} \cdot h_B$ и $V_{BADM} = \frac{1}{3} S_{ADM} \cdot h_B$. Отношение их объемов равно: $$ \frac{V_{ABCM}}{V_{ABDM}} = \frac{S_{ACM}}{S_{ADM}} $$

Теперь найдем отношение площадей $\frac{S_{ACM}}{S_{ADM}}$. Треугольники $ACM$ и $ADM$ лежат в одной плоскости, имеют общую вершину $A$, а их основания $CM$ и $MD$ лежат на одной прямой $CD$. Проведя общую высоту из вершины $A$ на прямую $CD$, получим, что отношение их площадей равно отношению длин оснований: $$ \frac{S_{ACM}}{S_{ADM}} = \frac{\frac{1}{2} CM \cdot h_A}{\frac{1}{2} MD \cdot h_A} = \frac{CM}{MD} $$

Приравнивая два выражения для отношения объемов, получаем: $$ \frac{S_{ABC}}{S_{ABD}} = \frac{S_{ACM}}{S_{ADM}} $$ Подставляя в правую часть найденное отношение отрезков, приходим к требуемому результату: $$ \frac{CM}{MD} = \frac{S_{ABC}}{S_{ABD}} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскость, проходящая через ребро тетраэдра и делящая двугранный угол при этом ребре пополам, делит противоположное ребро в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол.