Номер 768, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

768. В основании пирамиды MABC лежит треугольник ABC, в котором ∠C = 90°, AC = 4 см, BC = 3 см. Грань MAC перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. Расстояние от основания высоты MH пирамиды до грани MBC равно 324см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Определение положения основания высоты пирамиды.

Пусть $MABC$ - данная пирамида. В основании лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = 4$ см и $BC = 3$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

По условию, грань $MAC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что высота пирамиды $MH$ лежит в плоскости $MAC$. Следовательно, основание высоты $H$ принадлежит прямой $AC$.

Сказано, что две другие боковые грани, $MAB$ и $MBC$, составляют равные углы с плоскостью основания. Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, который измеряется углом между перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к их линии пересечения.

- Для грани $MBC$ и основания $ABC$ линия пересечения — $BC$. Так как $H \in AC$ и $\triangle ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$, то $HC \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $MH$ — высота ($MH \perp (ABC)$), а $HC$ — ее проекция, то $MC \perp BC$. Следовательно, угол между гранью $MBC$ и основанием — это $\angle MCH$.

- Для грани $MAB$ и основания $ABC$ линия пересечения — $AB$. Проведем из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к $AB$ ($HK \perp AB$). По теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$. Следовательно, угол между гранью $MAB$ и основанием — это $\angle MKH$.

По условию эти углы равны: $\angle MCH = \angle MKH$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MCH$ (прямой угол $H$) и $\triangle MKH$ (прямой угол $H$). У них общий катет $MH$. Из равенства острых углов следует равенство тангенсов:
$\text{tg}(\angle MCH) = \frac{MH}{HC}$
$\text{tg}(\angle MKH) = \frac{MH}{HK}$
Так как углы равны, то $\frac{MH}{HC} = \frac{MH}{HK}$, откуда следует, что $HC = HK$.

Точка $H$ лежит на катете $AC$. Расстояние от $H$ до катета $BC$ — это длина отрезка $HC$. Расстояние от $H$ до гипотенузы $AB$ — это длина перпендикуляра $HK$. Найдем положение точки $H$.
Рассмотрим $\triangle AHK$ и $\triangle ABC$. Они подобны по двум углам ($\angle HAK$ — общий, $\angle HKA = \angle BCA = 90^\circ$). Из подобия следует:
$\frac{HK}{BC} = \frac{AH}{AB}$
Пусть $AH = x$. Тогда $HC = AC - AH = 4 - x$. Так как $HC = HK$, получаем $HK = 4 - x$.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{4-x}{3} = \frac{x}{5}$
$5(4-x) = 3x$
$20 - 5x = 3x$
$8x = 20$
$x = \frac{20}{8} = 2.5$ см.
Таким образом, $AH = 2.5$ см, а $HC = 4 - 2.5 = 1.5$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды $MH$.

Нам дано расстояние от основания высоты $H$ до грани $MBC$, равное $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ см.
Так как $BC \perp AC$ и $BC \perp MC$, то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $MAC$. А раз прямая $BC$ лежит в плоскости $MBC$, то плоскость $MBC$ перпендикулярна плоскости $MAC$ по линии их пересечения $MC$.
Расстояние от точки $H$, лежащей в плоскости $MAC$, до плоскости $MBC$ равно длине перпендикуляра, опущенного из $H$ на линию пересечения $MC$. Обозначим этот перпендикуляр $HP$. Таким образом, $HP \perp MC$ и $HP = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCH$ ($\angle MCH = 90^\circ$). $MH$ — высота пирамиды, $HC = 1.5 = \frac{3}{2}$ см, $HP$ — высота, проведенная к гипотенузе $MC$. Пусть $MH = h$.
Из $\triangle MCH$ по теореме Пифагора: $MC = \sqrt{MH^2 + HC^2} = \sqrt{h^2 + (1.5)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{9}{4}}$.
Площадь $\triangle MCH$ можно выразить двумя способами:
$S_{\triangle MCH} = \frac{1}{2} MH \cdot HC = \frac{1}{2} MC \cdot HP$
$MH \cdot HC = MC \cdot HP$
$h \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{h^2 + \frac{9}{4}} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Сократим на $\frac{3}{2}$:
$h = \sqrt{h^2 + \frac{9}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$h^2 = \left(h^2 + \frac{9}{4}\right) \cdot \frac{2}{4} = \left(h^2 + \frac{9}{4}\right) \cdot \frac{1}{2}$
$2h^2 = h^2 + \frac{9}{4}$
$h^2 = \frac{9}{4}$
$h = \frac{3}{2} = 1.5$ см.
Итак, высота пирамиды $MH = 1.5$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трех боковых граней: $S_{бок} = S_{MAC} + S_{MBC} + S_{MAB}$.

Площадь грани MAC:
$MH$ является высотой $\triangle MAC$, проведенной к стороне $AC$.
$S_{MAC} = \frac{1}{2} AC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1.5 = 3$ см².

Площадь грани MBC:
$\triangle MBC$ — прямоугольный, так как $MC \perp BC$. Найдем длину катета $MC$.
Из прямоугольного $\triangle MCH$: $MC = \sqrt{MH^2 + HC^2} = \sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{2 \cdot 1.5^2} = 1.5\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.
$S_{MBC} = \frac{1}{2} BC \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ см².

Площадь грани MAB:
$MK$ является высотой $\triangle MAB$, проведенной к стороне $AB$. Найдем длину $MK$.
Из прямоугольного $\triangle MKH$: $MK = \sqrt{MH^2 + HK^2}$. Мы знаем, что $MH=1.5$ см и $HK=HC=1.5$ см.
$MK = \sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = 1.5\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.
$S_{MAB} = \frac{1}{2} AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{4}$ см².

Итоговая площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = S_{MAC} + S_{MBC} + S_{MAB} = 3 + \frac{9\sqrt{2}}{4} + \frac{15\sqrt{2}}{4} = 3 + \frac{24\sqrt{2}}{4} = 3 + 6\sqrt{2}$ см².

Ответ: $3 + 6\sqrt{2}$ см².