Номер 762, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

762. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β₁. Докажите, что если плоскость β образует с плоскостью α угол φ, то и плоскость β₁ образует с плоскостью α угол φ.

Докажем утверждение, рассмотрев два случая.

Случай 1: Плоскость ? параллельна плоскости ? или совпадает с ней.

Если плоскость ? параллельна плоскости ?, то угол ? между ними равен 0. При зеркальной симметрии относительно плоскости ? плоскость ? отобразится на плоскость ??, которая также будет параллельна плоскости ?. Следовательно, угол между ?? и ? также будет равен 0. Если ? совпадает с ?, то угол равен 0, и ?? совпадает с ? и ?, так что угол остается равным 0. В этом случае утверждение верно.

Случай 2: Плоскость ? пересекает плоскость ?.

Пусть плоскости ? и ? пересекаются по прямой l. Угол между плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом.

1. Построение линейного угла.
Выберем на прямой l произвольную точку P. В плоскости ? проведем через точку P прямую b, перпендикулярную прямой l. В плоскости ? проведем через точку P прямую a, перпендикулярную прямой l. По определению, угол ? между плоскостями ? и ? равен углу между прямыми a и b. Таким образом, $? = \angle(a, b)$.

2. Свойства зеркальной симметрии.
Зеркальная симметрия относительно плоскости (в данном случае ?) является движением (изометрией). Это означает, что она сохраняет расстояния, а также углы между прямыми. По условию, симметрия относительно ? отображает плоскость ? на плоскость ??.

3. Применение симметрии к построенным прямым.
Рассмотрим, как данная симметрия действует на построенные нами прямые a и b.

• Прямая a полностью лежит в плоскости симметрии ?. Следовательно, каждая ее точка отображается на саму себя. Таким образом, образом прямой a является сама прямая a.
• Прямая b лежит в плоскости ?. Ее образ, который мы назовем b?, должен лежать в образе плоскости ?, то есть в плоскости ??.
• Поскольку симметрия сохраняет углы, угол между прямыми a и b равен углу между их образами: $\angle(a, b) = \angle(a, b_1)$.

4. Нахождение угла между ? и ??.
Чтобы найти угол между плоскостями ? и ??, нам нужно построить их линейный угол.

• Линия пересечения плоскостей ? и ?? — это та же прямая l, так как все точки на l лежат в плоскости ? и поэтому остаются на месте при симметрии.
• Прямая a лежит в плоскости ? и перпендикулярна l.
• Докажем, что прямая b? (образ прямой b) также перпендикулярна прямой l. Мы знаем, что $b \perp l$. Так как симметрия сохраняет углы, образ прямой b (прямая b?) будет перпендикулярен образу прямой l (прямой l). Следовательно, $b_1 \perp l$.
• Таким образом, мы имеем две прямые, a и b?, проведенные в плоскостях ? и ?? соответственно, обе перпендикулярны линии их пересечения l в одной и той же точке P. Угол между этими прямыми, $\angle(a, b_1)$, и есть линейный угол двугранного угла между плоскостями ? и ??.

5. Заключение.
Мы установили следующее:
- Угол между ? и ? есть $? = \angle(a, b)$.
- Из свойства сохранения углов при симметрии: $\angle(a, b) = \angle(a, b_1)$.
- Угол между ? и ?? есть $\angle(a, b_1)$.
Отсюда напрямую следует, что угол между плоскостью ?? и плоскостью ? также равен ?. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.