Номер 758, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

758. Лучи ОА, ОВ и ОС расположены так, что ∠BOC = ∠BOA = 45°, ∠AOC = 60°. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в точку O, из которой выходят все лучи.

Зададим систему координат. Поскольку прямая OH перпендикулярна плоскости AOB, удобно направить ось $Oz$ вдоль прямой OH, а плоскость AOB совместить с плоскостью $Oxy$. В этой системе координат точка O имеет координаты $(0, 0, 0)$. В качестве направляющего вектора для прямой OH можно взять единичный вектор оси $Oz$: $\vec{u}_{OH} = (0, 0, 1)$.

Определим координаты направляющих векторов лучей OA, OB и OC. Для удобства будем работать с единичными векторами, так как длина лучей не задана и не влияет на угол между ними.

Пусть луч OA совпадает с положительным направлением оси $Ox$. Тогда его единичный направляющий вектор $\vec{u}_{OA} = (1, 0, 0)$.

Луч OB лежит в плоскости $Oxy$ и, по условию, образует с лучом OA угол $\angle BOA = 45^\circ$. Следовательно, его единичный направляющий вектор $\vec{u}_{OB}$ имеет координаты $(\cos 45^\circ, \sin 45^\circ, 0)$, то есть $\vec{u}_{OB} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Пусть единичный направляющий вектор луча OC будет $\vec{u}_{OC} = (x, y, z)$. Его координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Теперь используем данные об углах $\angle AOC$ и $\angle BOC$ для нахождения координат $x, y, z$. Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти через их скалярное произведение: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. Для единичных векторов формула упрощается до $\cos\theta = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

Для угла $\angle AOC = 60^\circ$ имеем:
$\vec{u}_{OA} \cdot \vec{u}_{OC} = \cos 60^\circ$
$(1, 0, 0) \cdot (x, y, z) = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$

Для угла $\angle BOC = 45^\circ$ имеем:
$\vec{u}_{OB} \cdot \vec{u}_{OC} = \cos 45^\circ$
$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cdot (x, y, z) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Умножив обе части уравнения на $\frac{2}{\sqrt{2}}$, получаем: $x + y = 1$.

Теперь у нас есть система для нахождения координат вектора $\vec{u}_{OC}$. Подставим найденное значение $x = \frac{1}{2}$ в уравнение $x + y = 1$:
$\frac{1}{2} + y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем $z$ из условия, что $\vec{u}_{OC}$ — единичный вектор: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + z^2 = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + z^2 = 1$
$\frac{2}{4} + z^2 = 1$
$\frac{1}{2} + z^2 = 1$
$z^2 = \frac{1}{2} \implies z = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Выбор знака для $z$ не влияет на искомый угол между прямыми (угол будет либо $\alpha$, либо $180^\circ - \alpha$, но угол между прямыми по определению берут острый, не превышающий $90^\circ$). Возьмем $z = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Итак, направляющий вектор луча OC: $\vec{u}_{OC} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Наконец, найдем угол между прямыми OH и OC. Это угол $\alpha$ между их направляющими векторами $\vec{u}_{OH} = (0, 0, 1)$ и $\vec{u}_{OC} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
$\cos\alpha = \frac{|\vec{u}_{OH} \cdot \vec{u}_{OC}|}{|\vec{u}_{OH}| \cdot |\vec{u}_{OC}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})|}{1 \cdot 1}$
$\cos\alpha = |0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.