Номер 752, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

752. Вычислите косинус угла между прямыми AB и CD, если:

Для вычисления косинуса угла между двумя прямыми в пространстве необходимо найти направляющие векторы этих прямых и затем использовать формулу для косинуса угла между векторами. Угол между прямыми принимается за острый, поэтому в числителе используется модуль скалярного произведения.

Направляющий вектор прямой, проходящей через точки $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляется по формуле $\vec{p} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми с направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их модули (длины).

а) A(7; -8; 15), B(8; -7; 13), C(2; -3; 5), D(-1; 0; 4)

1. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (8 - 7; -7 - (-8); 13 - 15) = (1; 1; -2)$

2. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (-1 - 2; 0 - (-3); 4 - 5) = (-3; 3; -1)$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1) \cdot (-3) + (1) \cdot (3) + (-2) \cdot (-1) = -3 + 3 + 2 = 2$

4. Найдем модули векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$

5. Вычислим косинус угла между прямыми:

$cos(\alpha) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{|2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{19}} = \frac{2}{\sqrt{114}}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{114}}$

б) A(8; -2; 3), B(3; -1; 4), C(5; -2; 0), D(7; 0; -2)

1. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (3 - 8; -1 - (-2); 4 - 3) = (-5; 1; 1)$

2. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (7 - 5; 0 - (-2); -2 - 0) = (2; 2; -2)$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -10 + 2 - 2 = -10$

4. Найдем модули векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

$|\vec{CD}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

5. Вычислим косинус угла между прямыми:

$cos(\alpha) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{10}{6 \cdot 3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$