Номер 749, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

749. Даны векторы

Для решения задачи используется формула скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Если даны два вектора $\vec{u}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{v}\{x_2; y_2; z_2\}$, то их скалярное произведение вычисляется как $\vec{u}\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Исходные данные: $\vec{a}\{-1; 5; 3\}$, $\vec{b}\{3; 0; 2\}$, $\vec{c}\{0,5; -3; 4\}$ и $\vec{d}\{2; 1; 0\}$.

а) $\vec{a}\vec{b}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ путем перемножения их соответствующих координат и сложения результатов:

$\vec{a}\vec{b} = (-1) \cdot 3 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = -3 + 0 + 6 = 3$.

Ответ: 3.

б) $\vec{a}\vec{c}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

$\vec{a}\vec{c} = (-1) \cdot 0,5 + 5 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 = -0,5 - 15 + 12 = -3,5$.

Ответ: -3,5.

в) $\vec{d}\vec{d}$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{d}$ на самого себя. Это также называется скалярным квадратом вектора и равно квадрату его длины.

$\vec{d}\vec{d} = \vec{d}^2 = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 4 + 1 + 0 = 5$.

Ответ: 5.

г) $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\vec{d}$

Сначала найдем координаты вектора, являющегося суммой векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, сложив их соответствующие координаты:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \{-1 + 3 + 0,5; 5 + 0 + (-3); 3 + 2 + 4\} = \{2,5; 2; 9\}$.

Теперь вычислим скалярное произведение полученного вектора и вектора $\vec{d}$:

$(\{2,5; 2; 9\}) \cdot (\{2; 1; 0\}) = 2,5 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 9 \cdot 0 = 5 + 2 + 0 = 7$.

Ответ: 7.

д) $(\vec{a} - \vec{b})(\vec{c} - \vec{d})$

Сначала найдем координаты векторов, являющихся разностями $(\vec{a} - \vec{b})$ и $(\vec{c} - \vec{d})$.

Найдем вектор $(\vec{a} - \vec{b})$:

$\vec{a} - \vec{b} = \{-1 - 3; 5 - 0; 3 - 2\} = \{-4; 5; 1\}$.

Найдем вектор $(\vec{c} - \vec{d})$:

$\vec{c} - \vec{d} = \{0,5 - 2; -3 - 1; 4 - 0\} = \{-1,5; -4; 4\}$.

Теперь вычислим скалярное произведение полученных векторов-разностей:

$(\vec{a} - \vec{b})(\vec{c} - \vec{d}) = (-4) \cdot (-1,5) + 5 \cdot (-4) + 1 \cdot 4 = 6 - 20 + 4 = -10$.

Ответ: -10.