Номер 748, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

748. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины .

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть вершины тетраэдра $A, B, C, D$ заданы своими радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ относительно некоторого произвольного начала координат.

По определению, медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. Рассмотрим медиану, исходящую из вершины $A$. Она соединяет точку $A$ с центроидом $M_A$ треугольника $BCD$.

Радиус-вектор центроида $M_A$ грани $BCD$ вычисляется как среднее арифметическое радиус-векторов его вершин:

$ \vec{m_A} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} $

Теперь найдем на медиане $AM_A$ такую точку $G$, которая делит ее в отношении $3:1$, считая от вершины $A$. Это означает, что соотношение длин отрезков $AG:GM_A = 3:1$.

По формуле деления отрезка в заданном отношении, радиус-вектор $\vec{g}$ точки $G$ будет равен:

$ \vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{m_A}}{1+3} = \frac{\vec{a} + 3\vec{m_A}}{4} $

Подставим в это равенство выражение для $\vec{m_A}$:

$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + 3 \left( \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} \right)}{4} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} $

Полученный радиус-вектор $\vec{g}$ точки $G$ является симметричным относительно векторов всех четырех вершин тетраэдра. Это означает, что если мы повторим те же вычисления для любой другой медианы (например, для медианы $BM_B$, где $M_B$ — центроид грани $ACD$), мы придем к точке с точно таким же радиус-вектором.

Проверим это для медианы из вершины $B$. Точка, делящая медиану $BM_B$ в отношении $3:1$ от вершины $B$, будет иметь радиус-вектор:

$ \vec{g'} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{m_B}}{1+3} = \frac{\vec{b} + 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3} \right)}{4} = \frac{\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c} + \vec{d})}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} $

Так как $\vec{g} = \vec{g'}$, точка, делящая медиану из вершины $A$ в отношении $3:1$, совпадает с точкой, делящей медиану из вершины $B$ в том же отношении. Ввиду симметрии итогового выражения для радиус-вектора, то же самое будет верно и для медиан, выходящих из вершин $C$ и $D$.

Следовательно, все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной и той же точке $G$, и эта точка по самому способу ее нахождения делит каждую медиану в отношении $3:1$, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $3:1$, считая от вершины.