Номер 751, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

751. Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу, D₁ — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы:

По условию задачи, все ребра тетраэдра $ABCD$ равны друг другу. Это означает, что $ABCD$ — правильный тетраэдр, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Точка $D_1$ — проекция точки $D$ на плоскость $ABC$. Это означает, что прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$. В правильном тетраэдре вершина проецируется в центр основания. Следовательно, $D_1$ является центром равностороннего треугольника $ABC$ (точкой пересечения медиан, биссектрис и высот).

а) Векторы $\vec{D_1B}$ и $\vec{D_1D}$.
По определению проекции, прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Вектор $\vec{D_1D}$ лежит на этой прямой. Вектор $\vec{D_1B}$ лежит в плоскости $ABC$, так как точки $D_1$ и $B$ принадлежат этой плоскости. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $DD_1$ перпендикулярна прямой $D_1B$. Это означает, что векторы $\vec{D_1D}$ и $\vec{D_1B}$ перпендикулярны. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{D_1D} \cdot \vec{D_1B} = 0$.
Ответ: Да.

б) Векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{BC}$.
Как было установлено ранее, прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Вектор $\vec{DD_1}$ лежит на этой прямой. Вектор $\vec{BC}$ лежит в плоскости $ABC$, так как точки $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости. Следовательно, прямая $DD_1$ перпендикулярна прямой $BC$. Векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{DD_1} \cdot \vec{BC} = 0$.
Ответ: Да.

в) Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{BC}$.
Для проверки перпендикулярности векторов найдем их скалярное произведение. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы, выходящие из вершины $D$: $\vec{BC} = \vec{DC} - \vec{DB}$.
Тогда скалярное произведение равно:
$\vec{DA} \cdot \vec{BC} = \vec{DA} \cdot (\vec{DC} - \vec{DB}) = \vec{DA} \cdot \vec{DC} - \vec{DA} \cdot \vec{DB}$.
Поскольку грани тетраэдра — равносторонние треугольники, углы $\angle ADC$ и $\angle ADB$ равны $60^\circ$. Длины векторов $|\vec{DA}|$, $|\vec{DB}|$, $|\vec{DC}|$ равны $a$.
Вычислим скалярные произведения:
$\vec{DA} \cdot \vec{DC} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(\angle ADC) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
$\vec{DA} \cdot \vec{DB} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DB}| \cdot \cos(\angle ADB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
Подставим полученные значения:
$\vec{DA} \cdot \vec{BC} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Ответ: Да.

г) Векторы $\vec{D_1B}$ и $\vec{DC}$.
Найдем скалярное произведение этих векторов. Разложим вектор $\vec{DC}$ по правилу треугольника: $\vec{DC} = \vec{DD_1} + \vec{D_1C}$.
Тогда скалярное произведение:
$\vec{D_1B} \cdot \vec{DC} = \vec{D_1B} \cdot (\vec{DD_1} + \vec{D_1C}) = \vec{D_1B} \cdot \vec{DD_1} + \vec{D_1B} \cdot \vec{D_1C}$.
Из пункта а) мы знаем, что вектор $\vec{D_1B}$ перпендикулярен вектору $\vec{D_1D}$, а значит и вектору $\vec{DD_1}$ (так как они коллинеарны и противоположно направлены). Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{D_1B} \cdot \vec{DD_1} = 0$.
Таким образом, $\vec{D_1B} \cdot \vec{DC} = \vec{D_1B} \cdot \vec{D_1C}$.
Точка $D_1$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Векторы $\vec{D_1B}$ и $\vec{D_1C}$ — это векторы, проведенные из центра треугольника к его вершинам. Угол между такими векторами равен $120^\circ$. Пусть ребро тетраэдра равно $a$. Тогда длина отрезка от вершины до центра равностороннего треугольника (радиус описанной окружности) равна $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$|\vec{D_1B}| = |\vec{D_1C}| = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Скалярное произведение:
$\vec{D_1B} \cdot \vec{D_1C} = |\vec{D_1B}| \cdot |\vec{D_1C}| \cdot \cos(\angle BD_1C) = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \cos(120^\circ) = \frac{a^2}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{6}$.
Так как скалярное произведение $\vec{D_1B} \cdot \vec{DC} = -\frac{a^2}{6} \neq 0$, векторы не являются перпендикулярными.
Ответ: Нет.