Номер 753, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

753. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М — центр грани ВВ₁C₁С. Вычислите угол между векторами:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$ и направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $C_1(a, a, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Точка $M$ — центр грани $BB_1C_1C$. Ее координаты можно найти как полусумму координат диагонально противоположных вершин этой грани, например, $B_1$ и $C$.

$M = \left(\frac{a+a}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{a+0}{2}\right) = \left(a; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}\right)$.

Найдем координаты векторов, вычитая из координат конца координаты начала.

$\vec{A_1D} = D - A_1 = (0-0; a-0; 0-a) = (0; a; -a)$.

$\vec{AM} = M - A = \left(a-0; \frac{a}{2}-0; \frac{a}{2}-0\right) = \left(a; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}\right)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами вычисляется по формуле:

$\cos\alpha = \frac{\vec{A_1D} \cdot \vec{AM}}{|\vec{A_1D}| \cdot |\vec{AM}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{A_1D} \cdot \vec{AM} = 0 \cdot a + a \cdot \frac{a}{2} + (-a) \cdot \frac{a}{2} = 0 + \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{MD} = D - M = \left(0-a; a-\frac{a}{2}; 0-\frac{a}{2}\right) = \left(-a; \frac{a}{2}; -\frac{a}{2}\right)$.

$\vec{BB_1} = B_1 - B = (a-a; 0-0; a-0) = (0; 0; a)$.

Косинус угла $\beta$ между векторами вычисляется по аналогичной формуле:

$\cos\beta = \frac{\vec{MD} \cdot \vec{BB_1}}{|\vec{MD}| \cdot |\vec{BB_1}|}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{MD} \cdot \vec{BB_1} = (-a) \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a = -\frac{a^2}{2}$.

Теперь вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{MD}| = \sqrt{(-a)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

$|\vec{BB_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2} = a$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos\beta = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2} \cdot a} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{6}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Следовательно, искомый угол $\beta$ равен:

$\beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$.