Номер 754, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

754. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ∠BAA₁ = ∠BAD = ∠DAA₁ = 60°, AB = AA₁ = AD = 1. Вычислите длины векторов AC₁ и BD₁.

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A:

$\vec{a} = \vec{AB}$

$\vec{b} = \vec{AD}$

$\vec{c} = \vec{AA_1}$

Согласно условию задачи, длины этих векторов равны 1:

$|\vec{a}| = |\vec{AB}| = 1$

$|\vec{b}| = |\vec{AD}| = 1$

$|\vec{c}| = |\vec{AA_1}| = 1$

Углы между каждой парой этих векторов равны $60^\circ$:

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \angle BAD = 60^\circ$

$\angle(\vec{a}, \vec{c}) = \angle BAA_1 = 60^\circ$

$\angle(\vec{b}, \vec{c}) = \angle DAA_1 = 60^\circ$

Найдем скалярные произведения базисных векторов, используя формулу $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Скалярные квадраты векторов равны квадратам их длин:

$\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{c}^2 = |\vec{c}|^2 = 1^2 = 1$

Вычисление длины вектора $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю параллелепипеда и может быть выражен как сумма базисных векторов:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата. Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{AC_1}$:

$|\vec{AC_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы трех векторов:

$|\vec{AC_1}|^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c})$

Подставим известные значения:

$|\vec{AC_1}|^2 = 1 + 1 + 1 + 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 + 3 = 6$

Следовательно, длина вектора $\vec{AC_1}$ равна:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{6}$

Ответ: $|\vec{AC_1}| = \sqrt{6}$.

Вычисление длины вектора $\vec{BD_1}$

Вектор $\vec{BD_1}$ является второй пространственной диагональю. Выразим его через базисные векторы, двигаясь по ребрам из точки B в точку D1:

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Учитывая, что $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$, получаем:

$\vec{BD_1} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Найдем скалярный квадрат этого вектора:

$|\vec{BD_1}|^2 = (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2$

Раскроем скобки:

$|\vec{BD_1}|^2 = (-\vec{a})^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2(-\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(-\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$

$|\vec{BD_1}|^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$

Подставим известные значения:

$|\vec{BD_1}|^2 = 1 + 1 + 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 1 - 1 + 1 = 2$

Следовательно, длина вектора $\vec{BD_1}$ равна:

$|\vec{BD_1}| = \sqrt{2}$

Ответ: $|\vec{BD_1}| = \sqrt{2}$.