Номер 757, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

757. Лучи ОА, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90°, ∠AOM = ϕ₁, ∠BOM = ϕ₂, ∠СОМ = ϕ₃. Докажите, что cos² ϕ₁ + cos² ϕ₂ + cos² ϕ₃ = 1.

Для решения этой задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат с началом в точке O.

Поскольку по условию углы $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 90^\circ$, лучи OA, OB и OC взаимно перпендикулярны. Мы можем направить оси координат вдоль этих лучей.

• Пусть луч OA совпадает с положительным направлением оси Ox.
• Пусть луч OB совпадает с положительным направлением оси Oy.
• Пусть луч OC совпадает с положительным направлением оси Oz.

Рассмотрим единичные векторы (орты), направленные вдоль этих лучей:

• $\vec{a}$ — единичный вектор вдоль луча OA, его координаты $\vec{a} = (1, 0, 0)$.
• $\vec{b}$ — единичный вектор вдоль луча OB, его координаты $\vec{b} = (0, 1, 0)$.
• $\vec{c}$ — единичный вектор вдоль луча OC, его координаты $\vec{c} = (0, 0, 1)$.

Пусть $\vec{m}$ — единичный вектор, направленный вдоль луча OM. Обозначим его координаты как $(x, y, z)$. Так как $\vec{m}$ — единичный вектор, его модуль (длина) равен 1. Модуль вектора связан с его координатами следующим образом:

$|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$

Возведя обе части в квадрат, получаем основное свойство координат единичного вектора:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

Теперь найдем косинусы углов $\phi_1, \phi_2, \phi_3$ через скалярное произведение векторов. Косинус угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Поскольку мы работаем с единичными векторами, их модули равны 1, и формула упрощается до $\cos \theta = \vec{u} \cdot \vec{v}$.

1. Угол $\phi_1 = \angle AOM$

Это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{m}$.

$\cos \phi_1 = \vec{a} \cdot \vec{m} = (1, 0, 0) \cdot (x, y, z) = 1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = x$

2. Угол $\phi_2 = \angle BOM$

Это угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{m}$.

$\cos \phi_2 = \vec{b} \cdot \vec{m} = (0, 1, 0) \cdot (x, y, z) = 0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = y$

3. Угол $\phi_3 = \angle COM$

Это угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{m}$.

$\cos \phi_3 = \vec{c} \cdot \vec{m} = (0, 0, 1) \cdot (x, y, z) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z = z$

Таким образом, мы выразили косинусы углов через координаты единичного вектора $\vec{m}$. Величины $x, y, z$ являются направляющими косинусами луча OM.

Подставим полученные выражения в левую часть доказываемого тождества:

$\cos^2 \phi_1 + \cos^2 \phi_2 + \cos^2 \phi_3 = x^2 + y^2 + z^2$

Как мы ранее установили из свойства единичного вектора, $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Следовательно, мы доказали, что $\cos^2 \phi_1 + \cos^2 \phi_2 + \cos^2 \phi_3 = 1$.

Ответ: Утверждение доказано.