Номер 763, страница 189 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

763. Докажите, что при параллельном переносе на вектор p: а) плоскость, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а $T$ — параллельный перенос на вектор $\vec{p}$. По условию, плоскость $\alpha$ не параллельна вектору $\vec{p}$. Это значит, что вектор $\vec{p}$ не параллелен ни одной прямой, лежащей в плоскости $\alpha$.

Выберем в плоскости $\alpha$ три неколлинеарные точки $A$, $B$ и $C$. Их образами при данном переносе будут точки $A'$, $B'$ и $C'$, для которых выполняется $\vec{AA'} = \vec{p}$, $\vec{BB'} = \vec{p}$ и $\vec{CC'} = \vec{p}$. Эти три точки $A'$, $B'$ и $C'$ определяют плоскость $\alpha'$, которая является образом плоскости $\alpha$.

Найдем векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$:
$\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'} = -\vec{p} + \vec{AB} + \vec{p} = \vec{AB}$.
$\vec{A'C'} = \vec{A'A} + \vec{AC} + \vec{CC'} = -\vec{p} + \vec{AC} + \vec{p} = \vec{AC}$.

Из равенств $\vec{A'B'} = \vec{AB}$ и $\vec{A'C'} = \vec{AC}$ следует, что треугольник $A'B'C'$ равен треугольнику $ABC$. В частности, так как точки $A$, $B$, $C$ не коллинеарны, то и точки $A'$, $B'$, $C'$ не коллинеарны и задают плоскость $\alpha'$.

Также из этих равенств следует, что прямая $A'B'$ параллельна прямой $AB$ ($A'B' \parallel AB$) и прямая $A'C'$ параллельна прямой $AC$ ($A'C' \parallel AC$). Поскольку две пересекающиеся прямые ($AB$ и $AC$) в плоскости $\alpha$ параллельны двум пересекающимся прямым ($A'B'$ и $A'C'$) в плоскости $\alpha'$, то по признаку параллельности плоскостей $\alpha \parallel \alpha'$.

Докажем, что плоскости не совпадают. Возьмем любую точку $A \in \alpha$. Ее образ $A'$ таков, что $\vec{AA'} = \vec{p}$. Если бы плоскости $\alpha$ и $\alpha'$ совпадали, то точка $A'$ также принадлежала бы плоскости $\alpha$ ($A' \in \alpha$). Тогда вектор $\vec{AA'} = \vec{p}$ был бы параллелен плоскости $\alpha$, что противоречит условию задачи. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\alpha'$ не совпадают ($\alpha \neq \alpha'$).

Таким образом, плоскость $\alpha$ отображается на параллельную ей и не совпадающую с ней плоскость $\alpha'$.

Ответ: Утверждение доказано.

Пусть плоскость $\alpha$ параллельна вектору $\vec{p}$ или содержит этот вектор.
Условие, что плоскость $\alpha$ содержит вектор $\vec{p}$, означает, что существуют такие точки $A, B \in \alpha$, что $\vec{AB} = \vec{p}$. Это, в свою очередь, означает, что вектор $\vec{p}$ параллелен прямой $AB$, лежащей в плоскости $\alpha$, а значит, вектор $\vec{p}$ параллелен плоскости $\alpha$.
Таким образом, оба случая сводятся к одному: вектор $\vec{p}$ параллелен плоскости $\alpha$.

Это означает, что вектор $\vec{p}$ может быть представлен как линейная комбинация двух неколлинеарных векторов, параллельных плоскости $\alpha$.

Пусть $A$ — некоторая точка в плоскости $\alpha$, а $\vec{u}$ и $\vec{v}$ — два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости $\alpha$. Тогда любая точка $M$ плоскости $\alpha$ может быть представлена в виде $\vec{AM} = s\vec{u} + t\vec{v}$ для некоторых действительных чисел $s$ и $t$.

Поскольку вектор $\vec{p}$ параллелен плоскости $\alpha$, его также можно разложить по векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$: $\vec{p} = k_1\vec{u} + k_2\vec{v}$ для некоторых чисел $k_1$ и $k_2$.

Докажем, что образ плоскости $\alpha$ совпадает с самой плоскостью $\alpha$. Для этого нужно показать, что образ любой точки из $\alpha$ лежит в $\alpha$, и любая точка из $\alpha$ является образом некоторой точки из $\alpha$.

1) Возьмем произвольную точку $M \in \alpha$ и найдем ее образ $M'$. По определению параллельного переноса, $\vec{MM'} = \vec{p}$. Выразим вектор $\vec{AM'}$:
$\vec{AM'} = \vec{AM} + \vec{MM'} = \vec{AM} + \vec{p} = (s\vec{u} + t\vec{v}) + (k_1\vec{u} + k_2\vec{v}) = (s+k_1)\vec{u} + (t+k_2)\vec{v}$.
Так как вектор $\vec{AM'}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$, точка $M'$ принадлежит плоскости $\alpha$. Это означает, что образ плоскости $\alpha$ является ее подмножеством.

2) Теперь возьмем произвольную точку $N \in \alpha$ и покажем, что она является образом некоторой точки $M \in \alpha$. Положение точки $N$ определяется вектором $\vec{AN} = s'\vec{u} + t'\vec{v}$ для некоторых $s'$ и $t'$. Мы ищем точку $M$ такую, что ее образ есть $N$, то есть $\vec{MN} = \vec{p}$, что эквивалентно $\vec{AM} = \vec{AN} - \vec{p}$.
$\vec{AM} = \vec{AN} - \vec{p} = (s'\vec{u} + t'\vec{v}) - (k_1\vec{u} + k_2\vec{v}) = (s'-k_1)\vec{u} + (t'-k_2)\vec{v}$.
Так как вектор $\vec{AM}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$, то искомая точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы показали, что образ любой точки из $\alpha$ лежит в $\alpha$, и любая точка в $\alpha$ является образом некоторой точки из $\alpha$. Следовательно, плоскость $\alpha$ отображается на себя.

Ответ: Утверждение доказано.