Номер 766, страница 189 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

766. В правильной треугольной пирамиде DABC высота DO равна 3 см, а боковое ребро DA равно 5 см. Найдите:

а) площадь полной поверхности пирамиды;

б) объём пирамиды;

в) угол между боковым ребром и плоскостью основания;

г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

д) скалярное произведение векторов 12(DB + DC) MA, где M — середина ребра BC;

е) радиус шара, вписанного в пирамиду.

Дано: правильная треугольная пирамида $DABC$, высота $DO = 3$ см, боковое ребро $DA = 5$ см.

Так как пирамида правильная, в основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, а высота $DO$ проецируется в его центр $O$. Точка $O$ является центром вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOA$. $DO$ — катет (высота пирамиды), $DA$ — гипотенуза (боковое ребро), $OA$ — второй катет. $OA$ является радиусом описанной окружности $R$ основания $ABC$.

По теореме Пифагора:

$OA = \sqrt{DA^2 - DO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Итак, $R = OA = 4$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Отсюда найдем сторону основания $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ для равностороннего треугольника равен $r = \frac{R}{2}$.

$r = OM = \frac{4}{2} = 2$ см, где $M$ — середина стороны $BC$.

а) площадь полной поверхности пирамиды;

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{\text{полн}}$ равна сумме площади основания $S_{\text{осн}}$ и площади боковой поверхности $S_{\text{бок}}$.

1. Площадь основания (равностороннего треугольника):

$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см?.

2. Площадь боковой поверхности. $S_{\text{бок}} = 3 \cdot S_{\triangle DBC}$. Для нахождения площади боковой грани $DBC$ нужна ее высота (апофема пирамиды) $DM$. Найдем $DM$ из прямоугольного треугольника $DOM$ (где $M$ — середина $BC$):

$DM = \sqrt{DO^2 + OM^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ см.

Площадь одной боковой грани:

$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{39}$ см?.

Площадь всей боковой поверхности:

$S_{\text{бок}} = 3 \cdot 2\sqrt{39} = 6\sqrt{39}$ см?.

3. Площадь полной поверхности:

$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 12\sqrt{3} + 6\sqrt{39} = 6\sqrt{3}(2 + \sqrt{13})$ см?.

Ответ: $12\sqrt{3} + 6\sqrt{39}$ см?.

б) объём пирамиды;

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$, где $H=DO$.

$V = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 3 = 12\sqrt{3}$ см?.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см?.

в) угол между боковым ребром и плоскостью основания;

Угол между боковым ребром (например, $DA$) и плоскостью основания ($ABC$) — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $DA$ является отрезок $OA$. Искомый угол — это $\angle DAO$ в прямоугольном треугольнике $DOA$.

Мы знаем все стороны этого треугольника: $DO=3$, $OA=4$, $DA=5$.

$\sin(\angle DAO) = \frac{DO}{DA} = \frac{3}{5}$.

Следовательно, угол равен $\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$.

г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

Угол наклона боковой грани (например, $DBC$) к плоскости основания ($ABC$) — это линейный угол двугранного угла, который образуется перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения ($BC$). Такими перпендикулярами являются апофема $DM$ и радиус вписанной окружности $OM$. Искомый угол — это $\angle DMO$ в прямоугольном треугольнике $DOM$.

Мы знаем катеты этого треугольника: $DO=3$, $OM=2$.

$\text{tg}(\angle DMO) = \frac{DO}{OM} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, угол равен $\text{arctg}\left(\frac{3}{2}\right)$.

Ответ: $\text{arctg}\left(\frac{3}{2}\right)$.

д) скалярное произведение векторов $\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC})\overrightarrow{MA}$, где $M$ — середина ребра $BC$;

1. Упростим первый вектор. По правилу сложения векторов, выходящих из одной точки, вектор $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}$ равен $2\overrightarrow{DM}$, где $M$ — середина отрезка $BC$.

Таким образом, $\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) = \frac{1}{2}(2\overrightarrow{DM}) = \overrightarrow{DM}$.

2. Нам нужно найти скалярное произведение $\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{MA}$.

По определению, скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними: $\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{MA} = |\overrightarrow{DM}| \cdot |\overrightarrow{MA}| \cdot \cos(\angle DMA)$.

3. Найдем длины векторов и косинус угла между ними. Рассмотрим треугольник $DMA$.

Длина $|\overrightarrow{DM}|$ — это апофема, мы ее нашли в пункте а): $|\overrightarrow{DM}| = \sqrt{13}$ см.

Длина $|\overrightarrow{MA}|$ — это медиана (и высота) равностороннего треугольника $ABC$. $|\overrightarrow{MA}| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Длина ребра $|\overrightarrow{DA}|$ дана по условию: $|\overrightarrow{DA}| = 5$ см.

4. По теореме косинусов для треугольника $DMA$:

$DA^2 = DM^2 + MA^2 - 2 \cdot DM \cdot MA \cdot \cos(\angle DMA)$.

$5^2 = (\sqrt{13})^2 + 6^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 6 \cdot \cos(\angle DMA)$.

$25 = 13 + 36 - 12\sqrt{13} \cdot \cos(\angle DMA)$.

$25 = 49 - 12\sqrt{13} \cdot \cos(\angle DMA)$.

$12\sqrt{13} \cdot \cos(\angle DMA) = 49 - 25 = 24$.

$\cos(\angle DMA) = \frac{24}{12\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

5. Вычисляем скалярное произведение:

$\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{MA} = |\overrightarrow{DM}| \cdot |\overrightarrow{MA}| \cdot \cos(\angle DMA) = \sqrt{13} \cdot 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: $12$.

е) радиус шара, вписанного в пирамиду.

Радиус $r_{\text{впис}}$ вписанного шара можно найти по формуле, связывающей объем пирамиды $V$ и площадь ее полной поверхности $S_{\text{полн}}$:

$V = \frac{1}{3} r_{\text{впис}} \cdot S_{\text{полн}}$.

Отсюда $r_{\text{впис}} = \frac{3V}{S_{\text{полн}}}$.

Из предыдущих пунктов имеем:

$V = 12\sqrt{3}$ см?.

$S_{\text{полн}} = 12\sqrt{3} + 6\sqrt{39}$ см?.

Подставляем значения:

$r_{\text{впис}} = \frac{3 \cdot 12\sqrt{3}}{12\sqrt{3} + 6\sqrt{39}} = \frac{36\sqrt{3}}{6\sqrt{3}(2 + \sqrt{13})} = \frac{6}{2 + \sqrt{13}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{13} - 2)$:

$r_{\text{впис}} = \frac{6(\sqrt{13} - 2)}{(2 + \sqrt{13})(\sqrt{13} - 2)} = \frac{6(\sqrt{13} - 2)}{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \frac{6(\sqrt{13} - 2)}{13 - 4} = \frac{6(\sqrt{13} - 2)}{9} = \frac{2(\sqrt{13} - 2)}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2(\sqrt{13} - 2)}{3}$ см.