Номер 773, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

773. Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.

Данная задача требует доказать утверждение в обе стороны (критерий). Поэтому доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности.

Доказательство необходимости (?)

Пусть прямая $l$, пересекающая грани $\alpha$ и $\beta$ двугранного угла в точках $A$ и $B$ соответственно, образует с ними равные углы. Обозначим угол между прямой $l$ и гранью $\alpha$ как $\varphi_1$, а угол с гранью $\beta$ как $\varphi_2$. По условию, $\varphi_1 = \varphi_2$. Необходимо доказать, что точки пересечения $A$ и $B$ равноудалены от ребра $a$ двугранного угла.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость. Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$ ($H \in \alpha$). Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $AH$, а угол $\varphi_1 = \angle BAH$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BHA$ ($\angle H = 90^\circ$) имеем: $\sin(\varphi_1) = \frac{BH}{AB}$.

Аналогично, пусть $AK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\beta$ ($K \in \beta$). Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ будет отрезок $BK$, а угол $\varphi_2 = \angle ABK$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AKB$ ($\angle K = 90^\circ$) имеем: $\sin(\varphi_2) = \frac{AK}{AB}$.

Из условия $\varphi_1 = \varphi_2$ (и того, что эти углы лежат в диапазоне $[0, 90^\circ]$) следует, что $\sin(\varphi_1) = \sin(\varphi_2)$. Отсюда $\frac{BH}{AB} = \frac{AK}{AB}$, что означает $BH = AK$.

Теперь установим связь между расстоянием от точки на грани до другой грани и расстоянием от этой точки до ребра. Пусть $\theta$ — линейный угол двугранного угла. Расстояние от точки $B \in \beta$ до плоскости $\alpha$ ($BH$) связано с расстоянием от $B$ до ребра $a$ (обозначим его $d_B$) формулой $BH = d_B \cdot \sin(\theta)$. Аналогично, для точки $A \in \alpha$ и ее расстояния до плоскости $\beta$ ($AK$) и до ребра $a$ ($d_A$) справедливо соотношение $AK = d_A \cdot \sin(\theta)$.

Подставив эти выражения в равенство $BH = AK$, получим: $d_B \cdot \sin(\theta) = d_A \cdot \sin(\theta)$.

Так как грани $\alpha$ и $\beta$ образуют невырожденный двугранный угол, то $0 < \theta < 180^\circ$, и, следовательно, $\sin(\theta) \neq 0$. Разделив обе части равенства на $\sin(\theta)$, получаем $d_B = d_A$.

Это доказывает, что расстояния от точек $A$ и $B$ до ребра $a$ равны.

Ответ: Доказано, что если прямая образует с гранями двугранного угла равные углы, то точки пересечения равноудалены от ребра.

Доказательство достаточности (?)

Пусть точки пересечения $A$ (на грани $\alpha$) и $B$ (на грани $\beta$) прямой $l$ с гранями двугранного угла равноудалены от ребра $a$. Обозначим расстояния от $A$ до ребра $a$ как $d_A$, а от $B$ до ребра $a$ как $d_B$. По условию, $d_A = d_B$. Необходимо доказать, что прямая $l$ образует с гранями $\alpha$ и $\beta$ равные углы, т.е. $\varphi_1 = \varphi_2$.

Как и в первой части, воспользуемся соотношениями, связывающими расстояния до плоскостей и до ребра. Пусть $\theta$ — линейный угол двугранного угла.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно $BH = d_B \cdot \sin(\theta)$.
Расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ равно $AK = d_A \cdot \sin(\theta)$.

Поскольку по условию $d_A = d_B$, то из этих формул следует, что $AK = BH$.

Рассмотрим синусы углов $\varphi_1$ и $\varphi_2$, которые прямая $AB$ образует с плоскостями $\alpha$ и $\beta$ соответственно.$\sin(\varphi_1) = \frac{BH}{AB}$
$\sin(\varphi_2) = \frac{AK}{AB}$

Так как мы установили, что $BH = AK$, то и правые части этих равенств равны: $\frac{BH}{AB} = \frac{AK}{AB}$. Следовательно, $\sin(\varphi_1) = \sin(\varphi_2)$.

По определению, угол между прямой и плоскостью всегда находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. На этом интервале функция синуса монотонно возрастает, а значит, из равенства синусов следует равенство самих углов: $\varphi_1 = \varphi_2$.

Таким образом, прямая образует с гранями двугранного угла равные углы.

Ответ: Доказано, что если точки пересечения прямой с гранями двугранного угла равноудалены от ребра, то прямая образует с этими гранями равные углы.