Номер 776, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

776. Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.

Для того чтобы разбить куб на шесть равных тетраэдров, можно использовать следующий метод, основанный на выборе одной из главных диагоналей куба.

1. Определение геометрии

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a$. Введем систему координат так, чтобы его вершины имели следующие координаты:

• $A(0,0,0)$
• $B(a,0,0)$
• $C(a,a,0)$
• $D(0,a,0)$
• $A_1(0,0,a)$
• $B_1(a,0,a)$
• $C_1(a,a,a)$
• $D_1(0,a,a)$

Объем куба равен $V_{куб} = a^3$. Следовательно, каждый из шести равных тетраэдров должен иметь объем $V_{тетр} = \frac{a^3}{6}$.

2. Построение тетраэдров

Выберем одну из четырех главных диагоналей куба. Пусть это будет диагональ $AC_1$. Эта диагональ будет служить общим ребром для всех шести тетраэдров.

Остальные вершины каждого тетраэдра будут определяться диагоналями граней куба. В кубе 12 диагоналей граней. Нам нужны те, которые не проходят через вершины $A$ или $C_1$. Таких диагоналей ровно шесть:

1. $BD$ на грани $ABCD$
2. $B_1D_1$ на грани $A_1B_1C_1D_1$
3. $A_1B$ на грани $ABB_1A_1$
4. $CD_1$ на грани $CDD_1C_1$
5. $B_1C$ на грани $BCC_1B_1$
6. $A_1D$ на грани $ADD_1A_1$

Теперь построим шесть тетраэдров. Каждый тетраэдр образуется вершинами главной диагонали $A, C_1$ и двумя вершинами одной из перечисленных выше диагоналей граней.

• $T_1$: вершины $A, C_1, B, D$
• $T_2$: вершины $A, C_1, B_1, D_1$
• $T_3$: вершины $A, C_1, A_1, B$
• $T_4$: вершины $A, C_1, C, D_1$
• $T_5$: вершины $A, C_1, B_1, C$
• $T_6$: вершины $A, C_1, A_1, D$

3. Доказательство равенства тетраэдров

Чтобы доказать, что все шесть тетраэдров равны (конгруэнтны), достаточно показать, что они имеют одинаковые наборы длин ребер. В силу симметрии куба, все эти тетраэдры будут конгруэнтны. Проверим это, рассчитав длины ребер для двух из них, например, для $T_1$ и $T_4$.

Для тетраэдра $T_1(A, C_1, B, D)$:

• $AC_1 = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$ (главная диагональ)
• $AB = a$ (ребро куба)
• $AD = a$ (ребро куба)
• $C_1B = \sqrt{(a-a)^2+(0-a)^2+(0-a)^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани)
• $C_1D = \sqrt{(0-a)^2+(a-a)^2+(0-a)^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани)
• $BD = \sqrt{(0-a)^2+(a-0)^2+(0-0)^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани)

Набор длин ребер для $T_1$: $\{a, a, a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, a\sqrt{3}\}$.

Для тетраэдра $T_4(A, C_1, C, D_1)$:

• $AC_1 = a\sqrt{3}$ (главная диагональ)
• $AC = \sqrt{a^2+a^2+0^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани)
• $AD_1 = \sqrt{0^2+a^2+a^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани)
• $C_1C = \sqrt{(a-a)^2+(a-a)^2+(a-0)^2} = a$ (ребро куба)
• $C_1D_1 = \sqrt{(a-0)^2+(a-a)^2+(a-a)^2} = a$ (ребро куба)
• $CD_1 = \sqrt{(0-a)^2+(a-a)^2+(a-0)^2} = a\sqrt{2}$ (диагональ грани)

Набор длин ребер для $T_4$: $\{a, a, a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, a\sqrt{3}\}$.

Наборы длин ребер совпадают, следовательно, тетраэдры $T_1$ и $T_4$ конгруэнтны. Аналогично можно показать конгруэнтность всех шести тетраэдров.

4. Проверка объема

Объем тетраэдра, построенного на векторах $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$, исходящих из одной вершины, равен $V = \frac{1}{6}|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$.

Для тетраэдра $T_1(A, C_1, B, D)$ можно выбрать вершину $A$ и векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AC_1}$. Но эти векторы не образуют тетраэдр $T_1$. Правильнее выбрать векторы, исходящие из одной из четырех вершин тетраэдра, например, A: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AC_1}$. Но эти векторы определяют тетраэдр $ABDC_1$.Объем тетраэдра с вершинами $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$, $D(x_D, y_D, z_D)$ вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{pmatrix} x_B-x_A & y_B-y_A & z_B-z_A \\ x_C-x_A & y_C-y_A & z_C-z_A \\ x_D-x_A & y_D-y_A & z_D-z_A \end{pmatrix} \right|$.Для $T_1(A, C_1, B, D)$ с вершиной $A(0,0,0)$:$\vec{AB} = (a,0,0)$, $\vec{AD} = (0,a,0)$, $\vec{AC_1} = (a,a,a)$.$V_{T_1} = \frac{1}{6} \left| \det \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ a & a & a \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{6} |a(a \cdot a - 0 \cdot a)| = \frac{1}{6} a^3$.

Таким образом, объем каждого тетраэдра равен $\frac{a^3}{6}$. Суммарный объем шести таких тетраэдров равен $6 \times \frac{a^3}{6} = a^3$, что совпадает с объемом куба. Геометрически эти шесть тетраэдров полностью заполняют пространство куба, располагаясь вокруг общей оси — главной диагонали $AC_1$.

Ответ: Куб разбивается на шесть равных тетраэдров. Все тетраэдры имеют общее ребро, совпадающее с одной из главных диагоналей куба. Остальные две вершины каждого тетраэдра совпадают с концами одной из шести диагоналей граней, не пересекающих выбранную главную диагональ.