Номер 777, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

777. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

Для решения этой задачи мы представим комнату в виде куба с длиной ребра $a$. Кратчайший путь по поверхности трехмерного объекта можно найти, сделав его развертку на плоскость. На этой развертке кратчайший путь будет представлять собой прямую линию.

1. Определение положения паука и мухи

Пусть куб расположен в системе координат так, что его вершины находятся в точках с координатами $(x, y, z)$, где каждая координата равна либо 0, либо $a$.

Пусть паук (П) сидит в середине одного из ребер. Для определенности, поместим паука в середину нижнего переднего ребра. В нашей системе координат это будет точка $П = (a/2, 0, 0)$.

Теперь нужно найти самую удаленную от паука вершину. Расстояние будем измерять по прямой в пространстве (Евклидово расстояние), чтобы определить, какая вершина является "самой удаленной". Вычислим квадраты расстояний от точки $П$ до всех 8 вершин куба:

• $(0,0,0): (a/2)^2 = a^2/4$
• $(a,0,0): (-a/2)^2 = a^2/4$
• $(0,a,0): (a/2)^2 + a^2 = 5a^2/4$
• $(a,a,0): (-a/2)^2 + a^2 = 5a^2/4$
• $(0,0,a): (a/2)^2 + a^2 = 5a^2/4$
• $(a,0,a): (-a/2)^2 + a^2 = 5a^2/4$
• $(0,a,a): (a/2)^2 + a^2 + a^2 = 9a^2/4$
• $(a,a,a): (-a/2)^2 + a^2 + a^2 = 9a^2/4$

Самыми удаленными являются две вершины: $(0, a, a)$ и $(a, a, a)$. Они находятся на одинаковом максимальном расстоянии от паука. Выберем одну из них в качестве положения мухи (М). Пусть муха сидит в вершине $М = (0, a, a)$. Эта вершина является левым задним верхним углом куба.

2. Поиск кратчайшего пути с помощью развертки

Паук находится на ребре, общем для передней грани (плоскость $y=0$) и нижней грани (плоскость $z=0$). Муха находится на вершине, общей для левой ($x=0$), задней ($y=a$) и верхней ($z=a$) граней. Пауку нужно пересечь несколько граней. Рассмотрим возможные развертки куба.

Вариант развертки 1: Через переднюю и левую грани

Развернем переднюю и левую грани на одну плоскость. Пусть эта плоскость будет плоскостью $(X, Z)$.

• Переднюю грань (в 3D это плоскость $y=0$) разместим на нашей 2D-плоскости. Ее координаты $(x,z)$ в 3D соответствуют координатам $(X,Z)$ на плоскости. Паук $П$ находится в точке $(a/2, 0, 0)$, что на этой грани соответствует точке $П_{нет} = (a/2, 0)$.
• Левую грань (в 3D это плоскость $x=0$) "приклеим" к передней грани вдоль их общей оси $z$. На развертке она будет лежать слева от передней грани. Координата $y$ левой грани станет координатой $-X$ на нашей плоскости. Муха $М$ находится в вершине $(0,a,a)$, что на левой грани соответствует точке с координатами $(y,z) = (a,a)$. На развертке эта точка будет иметь координаты $М_{нет} = (-a, a)$.

Теперь найдем расстояние между точками $П_{нет}=(a/2, 0)$ и $М_{нет}=(-a, a)$ на плоскости. Это будет длина кратчайшего пути. Используем теорему Пифагора:

$d_1^2 = (X_П - X_М)^2 + (Z_П - Z_М)^2 = (a/2 - (-a))^2 + (0 - a)^2 = (3a/2)^2 + (-a)^2 = \frac{9a^2}{4} + a^2 = \frac{13a^2}{4}$

$d_1 = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} \approx 1.803a$

Вариант развертки 2: Через переднюю и верхнюю грани

Развернем переднюю и верхнюю грани.

• Положение паука на передней грани, как и ранее, $П_{нет} = (a/2, 0)$.
• Верхнюю грань (в 3D это плоскость $z=a$) "приклеим" к передней грани вдоль их общего ребра. На развертке она окажется над передней гранью. Координата $y$ верхней грани станет продолжением координаты $Z$ на нашей плоскости. Муха $М(0,a,a)$ на верхней грани имеет координаты $(x,y)=(0,a)$. На развертке это будет точка $М_{нет} = (0, a+a) = (0, 2a)$.

Найдем расстояние между $П_{нет}=(a/2, 0)$ и $М_{нет}=(0, 2a)$:

$d_2^2 = (a/2 - 0)^2 + (0 - 2a)^2 = (a/2)^2 + (-2a)^2 = \frac{a^2}{4} + 4a^2 = \frac{17a^2}{4}$

$d_2 = \sqrt{\frac{17a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{17}}{2} \approx 2.062a$

Сравнивая два варианта, видим, что $d_1 < d_2$. Путь через переднюю и левую грани короче. Можно рассмотреть и другие развертки (например, через нижнюю и левую грани, что даст симметричный результат $d_1$), но они не дадут более короткого пути для данной конфигурации.

3. Описание траектории движения паука

Кратчайший путь соответствует прямой линии на развертке из варианта 1. Найдем уравнение этой прямой, соединяющей $П_{нет}=(a/2, 0)$ и $М_{нет}=(-a, a)$:

$Z - 0 = \frac{a - 0}{-a - a/2} (X - a/2) \implies Z = \frac{a}{-3a/2} (X - a/2) \implies Z = -\frac{2}{3}(X - \frac{a}{2}) \implies Z = -\frac{2}{3}X + \frac{a}{3}$

Этот путь состоит из двух отрезков на поверхности куба:

1. На передней грани ($y=0$): Здесь $X=x$ и $Z=z$. Паук движется по траектории $z = -\frac{2}{3}x + \frac{a}{3}$. Он начинает в точке $П(x=a/2, z=0)$ и движется к общему ребру с левой гранью (где $x=0$). Точка пересечения этого ребра будет иметь координату $z = -\frac{2}{3}(0) + \frac{a}{3} = a/3$. То есть паук движется по передней стенке до точки с координатами $(0, 0, a/3)$.
2. На левой грани ($x=0$): Здесь $X=-y$ и $Z=z$. Уравнение пути $Z = -\frac{2}{3}X + \frac{a}{3}$ преобразуется в $z = -\frac{2}{3}(-y) + \frac{a}{3} \implies z = \frac{2}{3}y + \frac{a}{3}$. Паук продолжает движение из точки $(0, 0, a/3)$ по левой стенке до точки-цели $М(0,a,a)$. Проверим, что муха лежит на этой линии: при $y=a$, получаем $z = \frac{2}{3}a + \frac{a}{3} = a$. Это верно.

Ответ:

Чтобы добраться до самой удаленной вершины по кратчайшему пути, паук должен двигаться следующим образом (примем, что комната-куб имеет ребро длиной $a$, паук сидит в середине нижнего переднего ребра, а муха — в левом заднем верхнем углу):

1. Сначала паук ползет по передней стене по прямой линии от середины нижнего ребра до точки на левом вертикальном ребре, находящейся на высоте $a/3$ от пола.
2. Затем, от этой точки, он ползет по левой стене по прямой линии до целевой вершины (заднего верхнего угла этой стены).

Весь путь представляет собой два отрезка прямых на двух смежных гранях куба, которые вместе образуют единый отрезок прямой на развертке куба.