Номер 784, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

784. Отрезки AB и CD перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объём тетраэдра ABCD при этом не изменяется.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления объёма тетраэдра через длины двух его скрещивающихся рёбер, расстояние между ними и угол между ними.

Пусть отрезки $AB$ и $CD$ лежат на скрещивающихся прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно. Объём тетраэдра $ABCD$ можно выразить через векторы его рёбер. Стандартная формула для объёма через смешанное произведение векторов, выходящих из одной вершины (например, $A$), имеет вид:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$

Преобразуем это выражение, чтобы использовать векторы скрещивающихся рёбер $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Заметим, что $\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD}$. Подставим это в формулу:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot (\vec{AC} + \vec{CD})|$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AC} + (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{CD}|$

Смешанное произведение $(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AC}$ равно нулю, так как векторное произведение $(\vec{AB} \times \vec{AC})$ перпендикулярно вектору $\vec{AC}$, а скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, формула для объёма упрощается:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{CD}|$

Используя циклическую перестановку векторов в смешанном произведении, которая не меняет его модуля, получим:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AC} \times \vec{CD}) \cdot \vec{AB}|$

Теперь рассмотрим геометрический смысл этого выражения.Пусть $a = |\vec{AB}|$ и $b = |\vec{CD}|$ — длины отрезков $AB$ и $CD$. По условию задачи, эти длины постоянны.Пусть $\alpha$ — угол между скрещивающимися прямыми $l_1$ и $l_2$. Так как прямые зафиксированы, угол $\alpha$ является постоянной величиной. Этот угол равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.Пусть $d$ — расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$. Это расстояние также является постоянным.

Смешанное произведение $|(\vec{AB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{AC}|$ можно интерпретировать как объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{AB}$, $\vec{CD}$ и $\vec{AC}$.Величина векторного произведения $|\vec{AB} \times \vec{CD}|$ равна $a \cdot b \cdot \sin\alpha$. Вектор $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{CD}$ перпендикулярен обеим прямым $l_1$ и $l_2$.

Тогда $|(\vec{AB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{AC}| = | \vec{n} \cdot \vec{AC} |$. Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{AC}$ представляет собой произведение модуля вектора $\vec{n}$ на проекцию вектора $\vec{AC}$ на направление вектора $\vec{n}$. Проекция вектора $\vec{AC}$ (соединяющего точку на $l_1$ с точкой на $l_2$) на направление, перпендикулярное обеим прямым, как раз и является расстоянием $d$ между этими прямыми.

Таким образом:

$|(\vec{AB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{AC}| = |\vec{AB} \times \vec{CD}| \cdot d = (a \cdot b \cdot \sin\alpha) \cdot d$

Подставляя это в формулу для объёма, получаем:

$V = \frac{1}{6} a \cdot b \cdot d \cdot \sin\alpha$

Проанализируем полученную формулу в контексте задачи:

• $a = |AB|$ — длина отрезка $AB$, которая по условию постоянна.
• $b = |CD|$ — длина отрезка $CD$, которая по условию постоянна.
• $l_1$ и $l_2$ — фиксированные скрещивающиеся прямые, поэтому расстояние $d$ между ними постоянно.
• Угол $\alpha$ между фиксированными прямыми $l_1$ и $l_2$ также постоянен.

Поскольку все величины в правой части формулы ($a, b, d, \alpha$) являются константами, объём тетраэдра $V$ также является постоянной величиной и не зависит от положения отрезков $AB$ и $CD$ на своих прямых.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Объём тетраэдра $ABCD$ не изменяется, так как он зависит только от длин отрезков $AB$ и $CD$, а также от расстояния и угла между скрещивающимися прямыми, на которых они лежат. Все эти величины в условиях задачи постоянны.