Номер 781, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

781. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что пересечение тетраэдров AB₁CD₁ и C₁BA₁D есть правильный октаэдр.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть ребро куба имеет длину $a$. Расположим одну из вершин куба, например, вершину $A$, в начале координат, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $C_1(a, a, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Рассмотрим два тетраэдра, заданных в условии:

• $T_1 = AB_1CD_1$ с вершинами $A(0, 0, 0)$, $B_1(a, 0, a)$, $C(a, a, 0)$, $D_1(0, a, a)$.
• $T_2 = C_1BA_1D$ с вершинами $C_1(a, a, a)$, $B(a, 0, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $D(0, a, 0)$.

Заметим, что все ребра каждого из этих тетраэдров являются диагоналями граней куба. Длина каждой такой диагонали равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, оба тетраэдра, $T_1$ и $T_2$, являются правильными тетраэдрами.

Нам нужно доказать, что их пересечение $P = T_1 \cap T_2$ является правильным октаэдром.

1. Определение вершин предполагаемого октаэдра

Рассмотрим центры шести граней куба. Обозначим их $V_1, \dots, V_6$:

• $V_1$ – центр грани $ABCD$: $(a/2, a/2, 0)$
• $V_2$ – центр грани $A_1B_1C_1D_1$: $(a/2, a/2, a)$
• $V_3$ – центр грани $ABB_1A_1$: $(a/2, 0, a/2)$
• $V_4$ – центр грани $CDD_1C_1$: $(a/2, a, a/2)$
• $V_5$ – центр грани $ADD_1A_1$: $(0, a/2, a/2)$
• $V_6$ – центр грани $BCC_1B_1$: $(a, a/2, a/2)$

Многогранник, вершинами которого являются эти шесть точек, обозначим как $O$.

2. Доказательство того, что $O$ – правильный октаэдр

Правильный октаэдр – это многогранник, у которого 8 граней (равносторонние треугольники), 12 ребер равной длины и 6 вершин. Найдем длины ребер многогранника $O$. Ребрами будут отрезки, соединяющие центры смежных граней куба.

Например, найдем расстояние между $V_1$ и $V_3$ (центры смежных граней $ABCD$ и $ABB_1A_1$):$d(V_1, V_3) = \sqrt{(a/2 - a/2)^2 + (a/2 - 0)^2 + (0 - a/2)^2} = \sqrt{0 + (a/2)^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Аналогично, найдем расстояние между $V_1$ и $V_5$:$d(V_1, V_5) = \sqrt{(a/2 - 0)^2 + (a/2 - a/2)^2 + (0 - a/2)^2} = \sqrt{(a/2)^2 + 0 + (-a/2)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

В силу симметрии куба, расстояние между центрами любых двух смежных граней будет одинаковым и равным $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Таким образом, все 12 ребер многогранника $O$ равны. Это доказывает, что его 8 граней являются равными равносторонними треугольниками. Следовательно, $O$ – правильный октаэдр.

3. Доказательство того, что $O = T_1 \cap T_2$

Чтобы доказать, что октаэдр $O$ является пересечением тетраэдров $T_1$ и $T_2$, мы представим $T_1$, $T_2$ и $O$ как множества точек, удовлетворяющих системам линейных неравенств, и покажем, что система неравенств для $T_1 \cap T_2$ эквивалентна системе для $O$.

Неравенства для тетраэдра $T_1 = AB_1CD_1$
Грани $T_1$ лежат в плоскостях, проходящих через его вершины.

• Плоскость грани $AB_1C$: $\vec{AB_1}=(a,0,a)$, $\vec{AC}=(a,a,0)$. Нормаль $\vec{n_1} \sim (-1,1,1)$. Уравнение: $-x+y+z=0$. Для внутренней точки (например, центр тетраэдра) $-x+y+z>0$. Неравенство: $-x+y+z \ge 0$.
• Плоскость грани $ACD_1$: $\vec{AC}=(a,a,0)$, $\vec{AD_1}=(0,a,a)$. Нормаль $\vec{n_2} \sim (1,-1,1)$. Уравнение: $x-y+z=0$. Неравенство: $x-y+z \ge 0$.
• Плоскость грани $AD_1B_1$: $\vec{AD_1}=(0,a,a)$, $\vec{AB_1}=(a,0,a)$. Нормаль $\vec{n_3} \sim (1,1,-1)$. Уравнение: $x+y-z=0$. Неравенство: $x+y-z \ge 0$.
• Плоскость грани $B_1CD_1$: $\vec{B_1C}=(0,a,-a)$, $\vec{B_1D_1}=(-a,a,0)$. Нормаль $\vec{n_4} \sim (1,1,1)$. Уравнение: $x+y+z=2a$. Неравенство: $x+y+z \le 2a$.

Неравенства для тетраэдра $T_2 = C_1BA_1D$
Аналогично находим неравенства для $T_2$.

• Плоскость грани $BA_1D$: Нормаль $\sim (1,1,1)$. Уравнение: $x+y+z=a$. Неравенство: $x+y+z \ge a$.
• Плоскость грани $C_1BA_1$: Нормаль $\sim (1,-1,1)$. Уравнение: $x-y+z=a$. Неравенство: $x-y+z \le a$.
• Плоскость грани $C_1BD$: Нормаль $\sim (1,1,-1)$. Уравнение: $x+y-z=a$. Неравенство: $x+y-z \le a$.
• Плоскость грани $C_1DA_1$: Нормаль $\sim (-1,1,1)$. Уравнение: $-x+y+z=a$. Неравенство: $-x+y+z \le a$.

Пересечение $T_1 \cap T_2$
Точка $(x,y,z)$ принадлежит пересечению $T_1 \cap T_2$ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют всем восьми неравенствам одновременно:

1. $-x+y+z \ge 0$
2. $x-y+z \ge 0$
3. $x+y-z \ge 0$
4. $x+y+z \le 2a$
5. $x+y+z \ge a$
6. $x-y+z \le a$
7. $x+y-z \le a$
8. $-x+y+z \le a$

Неравенства для октаэдра $O$
Теперь найдем уравнения плоскостей 8 граней октаэдра $O$. Центр октаэдра $O$ – это центр куба $(a/2, a/2, a/2)$.

• Грань $\triangle V_3V_5V_1$ (соединяет центры граней, смежных с вершиной A): плоскость $x+y+z=a$. Для центра $O$ имеем $a/2+a/2+a/2 = 3a/2 > a$. Значит, неравенство $x+y+z \ge a$.
• Грань $\triangle V_4V_6V_2$ (смежных с вершиной $C_1$): плоскость $x+y+z=2a$. Для центра $O$ имеем $3a/2 < 2a$. Значит, неравенство $x+y+z \le 2a$.
• Грань $\triangle V_1V_3V_6$ (смежных с вершиной B): плоскость $-x+y+z=0$. Для центра $O$ имеем $-a/2+a/2+a/2=a/2>0$. Значит, неравенство $-x+y+z \ge 0$.
• Грань $\triangle V_2V_4V_5$ (смежных с вершиной $D_1$): плоскость $-x+y+z=a$. Для центра $O$ имеем $a/2<a$. Значит, неравенство $-x+y+z \le a$.
• Грань $\triangle V_1V_4V_5$ (смежных с вершиной D): плоскость $x-y+z=0$. Для центра $O$ имеем $a/2>0$. Значит, неравенство $x-y+z \ge 0$.
• Грань $\triangle V_2V_3V_6$ (смежных с вершиной $B_1$): плоскость $x-y+z=a$. Для центра $O$ имеем $a/2<a$. Значит, неравенство $x-y+z \le a$.
• Грань $\triangle V_2V_3V_5$ (смежных с вершиной $A_1$): плоскость $x+y-z=0$. Для центра $O$ имеем $a/2>0$. Значит, неравенство $x+y-z \ge 0$.
• Грань $\triangle V_1V_4V_6$ (смежных с вершиной C): плоскость $x+y-z=a$. Для центра $O$ имеем $a/2<a$. Значит, неравенство $x+y-z \le a$.

Сравнивая системы неравенств, мы видим, что множество, определяемое неравенствами для $T_1 \cap T_2$, в точности совпадает с множеством, определяемым неравенствами для октаэдра $O$.Следовательно, пересечение тетраэдров $T_1$ и $T_2$ и есть правильный октаэдр $O$.

Ответ: Утверждение доказано. Пересечение тетраэдров $AB_1CD_1$ и $C_1BA_1D$ является правильным октаэдром, вершинами которого служат центры граней куба.