Номер 775, страница 190 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

775. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Пусть ребро куба имеет длину $L$. Разместим центр куба в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда оси координат можно направить параллельно ребрам куба. В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$V_i = (\pm \frac{L}{2}, \pm \frac{L}{2}, \pm \frac{L}{2})$

Всего у куба 8 вершин. Обозначим радиус-векторы вершин как $\vec{v_i}$. Квадрат расстояния от начала координат до любой вершины одинаков и равен:

$|\vec{v_i}|^2 = (\pm \frac{L}{2})^2 + (\pm \frac{L}{2})^2 + (\pm \frac{L}{2})^2 = \frac{L^2}{4} + \frac{L^2}{4} + \frac{L^2}{4} = \frac{3L^2}{4}$

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через центр куба (начало координат). Положение такой прямой в пространстве однозначно задается ее направляющим вектором. Пусть это будет единичный вектор $\vec{u} = (l, m, n)$, где $l, m, n$ - его направляющие косинусы. Для единичного вектора выполняется условие: $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.

Расстояние $d_i$ от точки (вершины) с радиус-вектором $\vec{v_i}$ до прямой, проходящей через начало координат с направляющим вектором $\vec{u}$, можно найти по формуле для высоты параллелограмма, построенного на векторах $\vec{v_i}$ и $\vec{u}$:

$d_i = \frac{|\vec{v_i} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

Так как мы выбрали $|\vec{u}| = 1$, квадрат расстояния равен:

$d_i^2 = |\vec{v_i} \times \vec{u}|^2$

Используя известное тождество для векторного произведения $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$, получим:

$d_i^2 = |\vec{v_i}|^2|\vec{u}|^2 - (\vec{v_i} \cdot \vec{u})^2 = |\vec{v_i}|^2 - (\vec{v_i} \cdot \vec{u})^2$

Нам нужно доказать, что сумма квадратов этих расстояний для всех 8 вершин не зависит от выбора прямой, то есть от вектора $\vec{u}$. Найдем эту сумму $S$:

$S = \sum_{i=1}^{8} d_i^2 = \sum_{i=1}^{8} (|\vec{v_i}|^2 - (\vec{v_i} \cdot \vec{u})^2) = \sum_{i=1}^{8} |\vec{v_i}|^2 - \sum_{i=1}^{8} (\vec{v_i} \cdot \vec{u})^2$

Вычислим каждую из сумм по отдельности.

1. Первая сумма:

$\sum_{i=1}^{8} |\vec{v_i}|^2 = \sum_{i=1}^{8} \frac{3L^2}{4} = 8 \cdot \frac{3L^2}{4} = 6L^2$

2. Вторая сумма:

Пусть координаты вершины $V_i$ - это $(x_i, y_i, z_i)$, где каждое из $x_i, y_i, z_i$ равно либо $+\frac{L}{2}$, либо $-\frac{L}{2}$.

$\vec{v_i} \cdot \vec{u} = x_i l + y_i m + z_i n$

$(\vec{v_i} \cdot \vec{u})^2 = (x_i l + y_i m + z_i n)^2 = x_i^2 l^2 + y_i^2 m^2 + z_i^2 n^2 + 2x_i y_i lm + 2x_i z_i ln + 2y_i z_i mn$

Просуммируем это выражение по всем 8 вершинам. Для любой вершины $x_i^2 = y_i^2 = z_i^2 = (\frac{L}{2})^2 = \frac{L^2}{4}$.

$\sum_{i=1}^{8} (x_i^2 l^2 + y_i^2 m^2 + z_i^2 n^2) = \sum_{i=1}^{8} (\frac{L^2}{4} l^2 + \frac{L^2}{4} m^2 + \frac{L^2}{4} n^2) = 8 \cdot \frac{L^2}{4} (l^2+m^2+n^2) = 2L^2 \cdot 1 = 2L^2$

Теперь рассмотрим суммы смешанных произведений. В силу симметрии куба, для каждой вершины $(x_i, y_i, z_i)$ найдется вершина с координатами $(-x_i, y_i, z_i)$, $(x_i, -y_i, z_i)$ и т.д. Например, для суммы $\sum_{i=1}^{8} x_i y_i$: на 8 вершин приходится 4 вершины, где $x_i$ и $y_i$ одного знака (произведение $x_i y_i = \frac{L^2}{4}$), и 4 вершины, где они разных знаков (произведение $x_i y_i = -\frac{L^2}{4}$). Таким образом:

$\sum_{i=1}^{8} x_i y_i = 4 \cdot (\frac{L^2}{4}) + 4 \cdot (-\frac{L^2}{4}) = 0$

Аналогично, $\sum_{i=1}^{8} x_i z_i = 0$ и $\sum_{i=1}^{8} y_i z_i = 0$.

Следовательно, сумма вторых слагаемых равна:

$\sum_{i=1}^{8} (\vec{v_i} \cdot \vec{u})^2 = 2L^2$

Теперь мы можем найти итоговую сумму $S$:

$S = 6L^2 - 2L^2 = 4L^2$

Полученный результат $4L^2$ зависит только от длины ребра куба $L$ и не зависит от направляющих косинусов $l, m, n$, которые определяют положение прямой в пространстве. Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

Ответ: Доказано. Сумма квадратов расстояний не зависит от положения прямой и равна $4L^2$, где $L$ - длина ребра куба.