Номер 759, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

759. Дан двугранный угол CABD, равный φ (φ ‹ 90°). Известно, что AC ⊥ AB и ∠DAB = θ. Найдите cos ∠CAD.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат.

1. Введем трехмерную прямоугольную систему координат с началом в точке $A$.

2. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $AB$. Таким образом, любой вектор, коллинеарный $AB$, будет иметь вид $(k, 0, 0)$.

3. Двугранный угол $CABD$ образован двумя полуплоскостями, проходящими через прямую $AB$ (ось $Ox$). Пусть полуплоскость, в которой лежит точка $C$, совпадает с полуплоскостью $Oxy$ при $y \ge 0$.

4. По условию, $AC \perp AB$. Так как $A$ — начало координат, а $AB$ лежит на оси $Ox$, то вектор $\vec{AC}$ должен лежать в плоскости $Oyz$. Поскольку точка $C$ также лежит в плоскости $Oxy$, вектор $\vec{AC}$ должен быть направлен вдоль оси $Oy$. Пусть длина отрезка $AC$ равна $c$. Тогда координаты точки $C$ будут $(0, c, 0)$, а вектор $\vec{AC} = (0, c, 0)$.

5. Полуплоскость, содержащая точку $D$, образует с полуплоскостью $Oxy$ угол $\phi$. Эта плоскость также проходит через ось $Ox$. Любую точку $D$ в этой плоскости можно задать координатами $(x_D, y_D, z_D)$. Пусть длина отрезка $AD$ равна $d$. Проекция точки $D$ на плоскость $Oyz$ (назовем ее $D'$) будет иметь координаты $(0, y_D, z_D)$. Угол между лучом $AD'$ и положительным направлением оси $Oy$ будет равен $\phi$. Следовательно, координаты $D'$ можно выразить через полярные координаты в плоскости $Oyz$:

$y_D = r \cos\phi$
$z_D = r \sin\phi$

где $r = AD' = \sqrt{y_D^2 + z_D^2}$.

6. Используем условие $\angle DAB = \theta$. Это угол между вектором $\vec{AD} = (x_D, y_D, z_D)$ и вектором, направленным вдоль оси $Ox$, например $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$\cos\theta = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{i}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{x_D \cdot 1 + y_D \cdot 0 + z_D \cdot 0}{d \cdot 1} = \frac{x_D}{d}$

Отсюда получаем $x_D = d \cos\theta$.

7. Теперь найдем $r = AD'$. Из теоремы Пифагора для треугольника $ADD'$ (где $D'$ - проекция $D$ на плоскость $Oyz$, так что $AD \perp DD'$) следует, что $d^2 = |AD|^2 = |AD'|^2 + |DD'|^2$. Неправильно. Из $d^2 = x_D^2+y_D^2+z_D^2$ и $r^2=y_D^2+z_D^2$ следует $d^2 = x_D^2 + r^2$.

$r^2 = d^2 - x_D^2 = d^2 - (d \cos\theta)^2 = d^2(1 - \cos^2\theta) = d^2\sin^2\theta$

Поскольку $d > 0$ и для угла $\theta$ в треугольнике $\sin\theta \ge 0$, мы можем заключить, что $r = d \sin\theta$.

8. Теперь мы можем выразить $y_D$ и $z_D$ через $d, \theta, \phi$:

$y_D = r \cos\phi = d \sin\theta \cos\phi$
$z_D = r \sin\phi = d \sin\theta \sin\phi$

Таким образом, вектор $\vec{AD}$ имеет координаты:

$\vec{AD} = (d \cos\theta, d \sin\theta \cos\phi, d \sin\theta \sin\phi)$

9. Наконец, найдем косинус искомого угла $\angle CAD$. Это угол между векторами $\vec{AC}=(0, c, 0)$ и $\vec{AD}$.

$\cos(\angle CAD) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|}$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{AD} = 0 \cdot (d \cos\theta) + c \cdot (d \sin\theta \cos\phi) + 0 \cdot (d \sin\theta \sin\phi) = c d \sin\theta \cos\phi$

Длины векторов равны $|\vec{AC}| = c$ и $|\vec{AD}| = d$.

Подставляем все в формулу:

$\cos(\angle CAD) = \frac{c d \sin\theta \cos\phi}{c \cdot d} = \sin\theta \cos\phi$

Ответ: $\cos\angle CAD = \sin\theta \cos\phi$.