Номер 761, страница 188 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

761. При движении прямая а отображается на прямую а₁, а плоскость α — на плоскость α₁. Докажите, что: а) если a || α, то a₁ || α₁; б) если a ⊥ α, то a₁ ⊥ α₁.

а)

Пусть дано движение (изометрия), при котором прямая $a$ отображается на прямую $a_1$, а плоскость $\alpha$ — на плоскость $\alpha_1$. Нам дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Параллельность прямой и плоскости может означать два случая: либо прямая лежит в плоскости ($a \subset \alpha$), либо прямая не имеет с плоскостью общих точек ($a \cap \alpha = \emptyset$). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Движение сохраняет отношение принадлежности. Это означает, что если каждая точка прямой $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, то образ каждой точки прямой $a$ (то есть любая точка прямой $a_1$) будет принадлежать образу плоскости $\alpha$ (то есть плоскости $\alpha_1$). Следовательно, вся прямая $a_1$ лежит в плоскости $\alpha_1$, то есть $a_1 \subset \alpha_1$. Прямая, лежащая в плоскости, по определению параллельна ей, значит $a_1 \parallel \alpha_1$.

Случай 2: Прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ ($a \cap \alpha = \emptyset$).

Докажем этот случай методом от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть $a_1$ не параллельна $\alpha_1$. Это означает, что прямая $a_1$ пересекает плоскость $\alpha_1$ в некоторой единственной точке $M_1$. Таким образом, $M_1 \in a_1$ и $M_1 \in \alpha_1$.

Движение является взаимно однозначным отображением (биекцией) пространства на себя. Это значит, что для каждой точки-образа $M_1$ существует единственная точка-прообраз $M$. Так как $M_1$ принадлежит прямой $a_1$, ее прообраз $M$ должен принадлежать прообразу прямой $a_1$, то есть прямой $a$. Аналогично, так как $M_1$ принадлежит плоскости $\alpha_1$, ее прообраз $M$ должен принадлежать прообразу плоскости $\alpha_1$, то есть плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы получаем, что точка $M$ является общей точкой для прямой $a$ и плоскости $\alpha$. Это означает, что $a \cap \alpha \neq \emptyset$, что противоречит условию данного случая ($a \cap \alpha = \emptyset$).

Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было неверным. Значит, $a_1$ и $\alpha_1$ не могут пересекаться. Следовательно, $a_1 \parallel \alpha_1$.

Поскольку в обоих возможных случаях из $a \parallel \alpha$ следует $a_1 \parallel \alpha_1$, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем, что если прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$), то ее образ $a_1$ перпендикулярен образу плоскости $\alpha_1$ ($a_1 \perp \alpha_1$).

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Пусть прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Выберем в плоскости $\alpha$ две произвольные пересекающиеся прямые, назовем их $b$ и $c$. Поскольку $b \subset \alpha$ и $c \subset \alpha$, из условия $a \perp \alpha$ следует, что $a \perp b$ и $a \perp c$.

Рассмотрим заданное движение. При этом движении прямая $a$ отображается на $a_1$, плоскость $\alpha$ — на $\alpha_1$, а прямые $b$ и $c$, лежащие в плоскости $\alpha$, отображаются на некоторые прямые $b_1$ и $c_1$.

Движение обладает следующими свойствами:

1. Сохранение принадлежности: так как прямые $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$, их образы $b_1$ и $c_1$ будут лежать в плоскости $\alpha_1$.
2. Сохранение инцидентности: так как прямые $b$ и $c$ пересекаются, их образы $b_1$ и $c_1$ также будут пересекаться.
3. Сохранение углов: движение сохраняет величину угла между прямыми.

Используя свойство сохранения углов, из $a \perp b$ (угол между ними $90^\circ$) следует, что угол между их образами $a_1$ и $b_1$ также равен $90^\circ$, то есть $a_1 \perp b_1$. Аналогично, из $a \perp c$ следует, что $a_1 \perp c_1$.

В результате мы получили, что прямая $a_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($b_1$ и $c_1$), которые лежат в плоскости $\alpha_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, это означает, что прямая $a_1$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.