Номер 741, страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

741. Даны точки М(2; −1; 3), N(−4; 1; −1), Р(−3; 1; 2) и Q(1; 1; 0). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: найти координаты середин отрезков MN и PQ, а затем вычислить расстояние между этими двумя найденными точками.

1. Нахождение координат середины отрезка MN

Пусть точка A является серединой отрезка MN. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Формула для нахождения координат середины отрезка с концами в точках $M(x_M; y_M; z_M)$ и $N(x_N; y_N; z_N)$ выглядит следующим образом:

$A\left(\frac{x_M + x_N}{2}; \frac{y_M + y_N}{2}; \frac{z_M + z_N}{2}\right)$

Подставим заданные координаты точек $M(2; -1; 3)$ и $N(-4; 1; -1)$ в формулу:

$x_A = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_A = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$z_A = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты точки A, середины отрезка MN, равны $A(-1; 0; 1)$.

2. Нахождение координат середины отрезка PQ

Пусть точка B является серединой отрезка PQ. Используем аналогичную формулу для точек $P(-3; 1; 2)$ и $Q(1; 1; 0)$:

$B\left(\frac{x_P + x_Q}{2}; \frac{y_P + y_Q}{2}; \frac{z_P + z_Q}{2}\right)$

Подставим заданные координаты точек P и Q:

$x_B = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_B = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_B = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты точки B, середины отрезка PQ, равны $B(-1; 1; 1)$.

3. Вычисление расстояния между серединами A и B

Расстояние $d$ между точками $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим координаты найденных точек $A(-1; 0; 1)$ и $B(-1; 1; 1)$ в формулу:

$d_{AB} = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 1)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}$

$d_{AB} = \sqrt{0 + 1 + 0} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: 1