Страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

731. Даны векторы a{−5; 0; 5}, b{−5; 5; 0} и c{1; −2; −3}. Найдите координаты вектора: а) 3b − 3a + 3c; б) −0,1c + 0,8a − 0,5b.

Даны векторы с координатами: $ \vec{a}\{-5; 0; 5\} $, $ \vec{b}\{-5; 5; 0\} $ и $ \vec{c}\{1; -2; -3\} $.

Для нахождения координат результирующего вектора необходимо выполнить соответствующие арифметические операции (умножение на число, сложение, вычитание) с каждой из координат исходных векторов. Координаты суммы (разности) векторов равны сумме (разности) соответствующих координат. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

а) Найдем координаты вектора $ 3\vec{b} - 3\vec{a} + 3\vec{c} $.

Обозначим искомый вектор как $ \vec{v} $. Его координаты $ \{v_x; v_y; v_z\} $ вычисляются следующим образом:

$ v_x = 3b_x - 3a_x + 3c_x = 3 \cdot (-5) - 3 \cdot (-5) + 3 \cdot 1 = -15 - (-15) + 3 = -15 + 15 + 3 = 3 $
$ v_y = 3b_y - 3a_y + 3c_y = 3 \cdot 5 - 3 \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 15 - 0 - 6 = 9 $
$ v_z = 3b_z - 3a_z + 3c_z = 3 \cdot 0 - 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-3) = 0 - 15 - 9 = -24 $

Таким образом, координаты вектора $ 3\vec{b} - 3\vec{a} + 3\vec{c} $ равны $ \{3; 9; -24\} $.

Ответ: $ \{3; 9; -24\} $

б) Найдем координаты вектора $ -0,1\vec{c} + 0,8\vec{a} - 0,5\vec{b} $.

Обозначим искомый вектор как $ \vec{w} $. Его координаты $ \{w_x; w_y; w_z\} $ вычисляются следующим образом:

$ w_x = -0,1c_x + 0,8a_x - 0,5b_x = -0,1 \cdot 1 + 0,8 \cdot (-5) - 0,5 \cdot (-5) = -0,1 - 4 - (-2,5) = -4,1 + 2,5 = -1,6 $
$ w_y = -0,1c_y + 0,8a_y - 0,5b_y = -0,1 \cdot (-2) + 0,8 \cdot 0 - 0,5 \cdot 5 = 0,2 + 0 - 2,5 = -2,3 $
$ w_z = -0,1c_z + 0,8a_z - 0,5b_z = -0,1 \cdot (-3) + 0,8 \cdot 5 - 0,5 \cdot 0 = 0,3 + 4 - 0 = 4,3 $

Таким образом, координаты вектора $ -0,1\vec{c} + 0,8\vec{a} - 0,5\vec{b} $ равны $ \{-1,6; -2,3; 4,3\} $.

Ответ: $ \{-1,6; -2,3; 4,3\} $

732. Коллинеарны ли векторы:

Два ненулевых вектора $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ называются коллинеарными, если существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, то есть их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$. Если одна из координат вектора $\vec{a}$ равна нулю (например, $x_1=0$), то для коллинеарности соответствующая координата вектора $\vec{b}$ также должна быть равна нулю ($x_2=0$), а для ненулевых координат должно выполняться равенство отношений. Проверим это условие для каждой пары векторов.

а) Даны векторы $\vec{a}\{-5; 3; -1\}$ и $\vec{b}\{6; -10; -2\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{6}{-5} = -1,2$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{-10}{3} = -3\frac{1}{3}$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{-2}{-1} = 2$
Так как отношения координат не равны ($ -1,2 \neq -3\frac{1}{3} \neq 2 $), векторы не являются коллинеарными.
Ответ: не коллинеарны.

б) Даны векторы $\vec{a}\{-2; 3; 7\}$ и $\vec{b}\{-1; 1,5; 3,5\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{-1}{-2} = 0,5$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{1,5}{3} = 0,5$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{3,5}{7} = 0,5$
Так как все отношения координат равны ($0,5$), то векторы коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

в) Даны векторы $\vec{a}\{-\frac{2}{3}; \frac{5}{9}; -1\}$ и $\vec{b}\{6; -5; 9\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{6}{-\frac{2}{3}} = 6 \cdot (-\frac{3}{2}) = -9$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{-5}{\frac{5}{9}} = -5 \cdot \frac{9}{5} = -9$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{9}{-1} = -9$
Так как все отношения координат равны ($-9$), то векторы коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

г) Даны векторы $\vec{a}\{0,7; -1,2; -5,2\}$ и $\vec{b}\{-2,8; 4,8; -20,8\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{-2,8}{0,7} = -4$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{4,8}{-1,2} = -4$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{-20,8}{-5,2} = 4$
Так как отношения не равны между собой ($-4 \neq 4$), векторы не являются коллинеарными.
Ответ: не коллинеарны.

733. Даны точки А(−5; 7; 3) и B(3; −11; 1). а) На оси Ох найдите точку, ближайшую к середине отрезка AB. б) Найдите точки, обладающие аналогичным свойством, на осях Оу и Oz.

Для решения задачи сначала найдем координаты середины отрезка AB. Пусть это будет точка M с координатами $(x_M; y_M; z_M)$. Координаты середины отрезка, концами которого являются точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Подставим в формулы координаты заданных точек $A(-5; 7; 3)$ и $B(3; -11; 1)$:

$x_M = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_M = \frac{7 + (-11)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$z_M = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка AB — это точка $M(-1; -2; 2)$.

а) Нам нужно найти на оси Ox точку, ближайшую к точке $M(-1; -2; 2)$. Ближайшей точкой на координатной оси к любой точке пространства является ее ортогональная проекция на эту ось.

Любая точка на оси Ox имеет координаты $(x; 0; 0)$. Ортогональная проекция точки $M(x_M; y_M; z_M)$ на ось Ox имеет координаты $(x_M; 0; 0)$.

Следовательно, для точки $M(-1; -2; 2)$ ее проекция на ось Ox будет иметь координаты $(-1; 0; 0)$. Это и есть искомая точка.

Ответ: $(-1; 0; 0)$.

б) Аналогично найдем точки на осях Oy и Oz.

Для оси Oy: Любая точка на оси Oy имеет координаты $(0; y; 0)$. Ортогональная проекция точки $M(-1; -2; 2)$ на ось Oy имеет координаты $(0; -2; 0)$.

Для оси Oz: Любая точка на оси Oz имеет координаты $(0; 0; z)$. Ортогональная проекция точки $M(-1; -2; 2)$ на ось Oz имеет координаты $(0; 0; 2)$.

Ответ: на оси Oy — точка $(0; -2; 0)$; на оси Oz — точка $(0; 0; 2)$.

734. Компланарны ли векторы:

а) Три вектора являются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами, равно определителю матрицы, составленной из этих координат.
Найдем координаты заданных векторов. Первый вектор $\vec{a}\{-1; 2; 3\}$.
Второй вектор (обозначим его $\vec{b}$): $\vec{b} = \vec{i}+\vec{j} = \{1; 1; 0\}$.
Третий вектор (обозначим его $\vec{c}$): $\vec{c} = \vec{i}-\vec{k} = \{1; 0; -1\}$.
Теперь вычислим смешанное произведение $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ как определитель матрицы:
$ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - 2(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + 3(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -1(-1) - 2(-1) + 3(-1) = 1 + 2 - 3 = 0 $
Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны.
Ответ: Да, векторы компланарны.

б) Аналогично проверим компланарность данных векторов через их смешанное произведение.
Найдем координаты векторов. Первый вектор (в задаче обозначен $\vec{b}$, назовем его $\vec{d}$ для ясности): $\vec{d}\{2; 1; 1,5\}$.
Второй вектор (назовем $\vec{e}$): $\vec{e} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} = \{1; 1; 1\}$.
Третий вектор (назовем $\vec{f}$): $\vec{f} = \vec{i}-\vec{j} = \{1; -1; 0\}$.
Вычислим определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
$ (\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1,5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 2(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - 1(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1,5(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = 2(1) - 1(-1) + 1,5(-2) = 2 + 1 - 3 = 0 $
Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны.
Ответ: Да, векторы компланарны.

в) Проверим на компланарность векторы $\vec{a}\{1; 1; 1\}$, $\vec{b}\{1; -1; 2\}$ и $\vec{c}\{2; 3; -1\}$, вычислив их смешанное произведение.
Составим матрицу из координат векторов и найдем ее определитель:
$ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 1((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 3) - 1(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) + 1(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2) = 1(1-6) - 1(-1-4) + 1(3+2) = -5 - (-5) + 5 = -5 + 5 + 5 = 5 $
Поскольку смешанное произведение не равно нулю ($5 \neq 0$), векторы не являются компланарными.
Ответ: Нет, векторы не компланарны.

735. Даны точки А(3; 5; 4), В(4; 6; 5), С(6; −2; 1) и D(5; −3; 0). Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, достаточно показать, что векторы его противоположных сторон равны. Если вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$, это означает, что отрезки $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, что является признаком параллелограмма.

Даны координаты вершин: $A(3; 5; 4)$, $B(4; 6; 5)$, $C(6; -2; 1)$ и $D(5; -3; 0)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора. Для вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $N(x_2, y_2, z_2)$ координаты равны $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Вычислим координаты вектора $\vec{AB}$. Начало вектора — точка $A(3; 5; 4)$, конец — точка $B(4; 6; 5)$.

$\vec{AB} = (4 - 3; 6 - 5; 5 - 4) = (1; 1; 1)$

Теперь вычислим координаты вектора $\vec{DC}$. Начало вектора — точка $D(5; -3; 0)$, конец — точка $C(6; -2; 1)$.

$\vec{DC} = (6 - 5; -2 - (-3); 1 - 0) = (1; -2 + 3; 1) = (1; 1; 1)$

Сравнивая полученные координаты, видим, что $\vec{AB} = (1; 1; 1)$ и $\vec{DC} = (1; 1; 1)$. Так как соответствующие координаты векторов равны, то и сами векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Из равенства векторов следует, что стороны $AB$ и $DC$ четырехугольника $ABCD$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, доказано, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано, так как векторы противоположных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, их координаты $(1; 1; 1)$.

736. Даны точки А(2; 0; 1), B(3; 2; 2) и С(2; 3; 6). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.

Точка пересечения медиан треугольника, также известная как центроид, является точкой, координаты которой равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника.

Для треугольника с вершинами $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$, координаты точки пересечения медиан $M(x_M; y_M; z_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
$z_M = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$

В данной задаче координаты вершин треугольника $ABC$ следующие: $A(2; 0; 1)$, $B(3; 2; 2)$ и $C(2; 3; 6)$.

Вычислим координаты точки пересечения медиан $M$, подставив значения в формулы:
$x_M = \frac{2 + 3 + 2}{3} = \frac{7}{3}$
$y_M = \frac{0 + 2 + 3}{3} = \frac{5}{3}$
$z_M = \frac{1 + 2 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Следовательно, искомые координаты точки пересечения медиан: $(\frac{7}{3}; \frac{5}{3}; 3)$.

Ответ: $(\frac{7}{3}; \frac{5}{3}; 3)$.

737. Даны координаты четырёх вершин параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁: А(3; 0; 2), В(2; 4; 5), А₁(5; 3; 1), D(7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин.

Для нахождения координат неизвестных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся его свойствами. Грани параллелепипеда являются параллелограммами, а боковые рёбра, не принадлежащие одному основанию, параллельны и равны. Это приводит к следующим векторным равенствам: $\vec{AD} = \vec{BC}$, $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Даны координаты вершин: $A(3; 0; 2)$, $B(2; 4; 5)$, $A_1(5; 3; 1)$, $D(7; 1; 2)$. Неизвестными остаются вершины $C$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$.

C

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, для него справедливо правило сложения векторов, соответствующее его вершинам: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$, где $O$ — начало координат. Отсюда можно выразить радиус-вектор точки $C$: $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA}$. Подставим координаты известных вершин для нахождения координат точки $C(x_C; y_C; z_C)$:
$x_C = x_B + x_D - x_A = 2 + 7 - 3 = 6$
$y_C = y_B + y_D - y_A = 4 + 1 - 0 = 5$
$z_C = z_B + z_D - z_A = 5 + 2 - 2 = 5$
Также можно использовать равенство векторов $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (7 - 3; 1 - 0; 2 - 2) = (4; 1; 0)$.
Теперь, зная, что $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B)$, приравняем его к $\vec{AD}$:
$x_C - 2 = 4 \implies x_C = 6$.
$y_C - 4 = 1 \implies y_C = 5$.
$z_C - 5 = 0 \implies z_C = 5$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $C(6; 5; 5)$

Для нахождения координат вершин верхнего основания ($B_1, C_1, D_1$) определим вектор сдвига $\vec{v}$, который равен вектору $\vec{AA_1}$ и переводит нижнее основание в верхнее.
$\vec{v} = \vec{AA_1} = (x_{A1} - x_A; y_{A1} - y_A; z_{A1} - z_A) = (5 - 3; 3 - 0; 1 - 2) = (2; 3; -1)$.
Координаты любой вершины верхнего основания можно найти, прибавив вектор $\vec{v}$ к координатам соответствующей вершины нижнего основания.

B?

Координаты вершины $B_1$ находим, прибавляя вектор сдвига $\vec{v}$ к координатам вершины $B$:
$\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{v}$.
$x_{B1} = x_B + v_x = 2 + 2 = 4$
$y_{B1} = y_B + v_y = 4 + 3 = 7$
$z_{B1} = z_B + v_z = 5 + (-1) = 4$
Ответ: $B_1(4; 7; 4)$

C?

Координаты вершины $C_1$ находим, прибавляя вектор сдвига $\vec{v}$ к координатам вершины $C(6; 5; 5)$:
$\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{v}$.
$x_{C1} = x_C + v_x = 6 + 2 = 8$
$y_{C1} = y_C + v_y = 5 + 3 = 8$
$z_{C1} = z_C + v_z = 5 + (-1) = 4$
Ответ: $C_1(8; 8; 4)$

D?

Координаты вершины $D_1$ находим, прибавляя вектор сдвига $\vec{v}$ к координатам вершины $D$:
$\vec{OD_1} = \vec{OD} + \vec{v}$.
$x_{D1} = x_D + v_x = 7 + 2 = 9$
$y_{D1} = y_D + v_y = 1 + 3 = 4$
$z_{D1} = z_D + v_z = 2 + (-1) = 1$
Ответ: $D_1(9; 4; 1)$

738. Середина отрезка AB лежит в плоскости Оху. Найдите k, если: а) А(2; 3; −1), В (5; 7; k); б) А (0; 4; k), В (3; −8; 2); в) А (5; 3; k), В(3; −5; 3k).

Пусть точка $M(x_M; y_M; z_M)$ — середина отрезка $AB$ с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$.
По условию, середина отрезка $AB$ лежит в плоскости $Oxy$. Это означает, что аппликата (координата $z$) этой точки равна нулю, то есть $z_M = 0$.
Следовательно, для нахождения $k$ необходимо решить уравнение $\frac{z_A + z_B}{2} = 0$, которое равносильно уравнению $z_A + z_B = 0$.

а) Даны точки $A(2; 3; -1)$ и $B(5; 7; k)$.
Аппликаты (координаты $z$) этих точек: $z_A = -1$ и $z_B = k$.
Подставим эти значения в условие $z_A + z_B = 0$:
$-1 + k = 0$
Отсюда находим $k$:
$k = 1$
Ответ: $k=1$.

б) Даны точки $A(0; 4; k)$ и $B(3; -8; 2)$.
Аппликаты этих точек: $z_A = k$ и $z_B = 2$.
Подставим эти значения в условие $z_A + z_B = 0$:
$k + 2 = 0$
Отсюда находим $k$:
$k = -2$
Ответ: $k=-2$.

в) Даны точки $A(5; 3; k)$ и $B(3; -5; 3k)$.
Аппликаты этих точек: $z_A = k$ и $z_B = 3k$.
Подставим эти значения в условие $z_A + z_B = 0$:
$k + 3k = 0$
$4k = 0$
Отсюда находим $k$:
$k = 0$
Ответ: $k=0$.

739. Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами a{2; 1; −2} и b{1; 3; 0}.

Для нахождения координат единичного вектора, который сонаправлен с заданным вектором, необходимо найти модуль (длину) этого вектора, а затем разделить каждую из его координат на этот модуль. Единичный вектор (орт) $\vec{e}$ для вектора $\vec{v}\{x; y; z\}$ вычисляется по формуле:

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left\{\frac{x}{|\vec{v}|}; \frac{y}{|\vec{v}|}; \frac{z}{|\vec{v}|}\right\}$

где модуль вектора $|\vec{v}|$ равен $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Для вектора $\vec{a}\{2; 1; -2\}$

1. Сначала вычислим модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

2. Теперь найдем координаты единичного вектора $\vec{e_a}$, сонаправленного с $\vec{a}$, разделив каждую координату вектора $\vec{a}$ на его модуль:

$\vec{e_a} = \left\{\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{-2}{3}\right\}$

Ответ: Координаты единичного вектора, сонаправленного с $\vec{a}$, равны $\left\{\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; -\frac{2}{3}\right\}$.

Для вектора $\vec{b}\{1; 3; 0\}$

1. Сначала вычислим модуль вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

2. Теперь найдем координаты единичного вектора $\vec{e_b}$, сонаправленного с $\vec{b}$, разделив каждую координату вектора $\vec{b}$ на его модуль:

$\vec{e_b} = \left\{\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; \frac{0}{\sqrt{10}}\right\} = \left\{\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; 0\right\}$

Также можно представить ответ, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\vec{e_b} = \left\{\frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}; \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}; 0\right\} = \left\{\frac{\sqrt{10}}{10}; \frac{3\sqrt{10}}{10}; 0\right\}$

Ответ: Координаты единичного вектора, сонаправленного с $\vec{b}$, равны $\left\{\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; 0\right\}$ (или $\left\{\frac{\sqrt{10}}{10}; \frac{3\sqrt{10}}{10}; 0\right\}$).

740. Длина вектора a{х; у; z} равна 5. Найдите ординату вектора a, если х = 2, z =− 5.

Длина, или модуль, вектора $\vec{a}\{x; y; z\}$ определяется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

В условии задачи даны следующие значения:

Длина вектора $|\vec{a}| = 5$.

Координата $x = 2$.

Координата $z = -\sqrt{5}$.

Нам нужно найти ординату вектора, то есть координату $y$.

Подставим известные данные в формулу длины вектора:

$5 = \sqrt{2^2 + y^2 + (-\sqrt{5})^2}$

Чтобы решить это уравнение относительно $y$, возведем обе его части в квадрат:

$5^2 = 2^2 + y^2 + (-\sqrt{5})^2$

Выполним вычисления:

$25 = 4 + y^2 + 5$

Теперь сложим известные числа в правой части уравнения:

$25 = 9 + y^2$

Выразим $y^2$ из полученного уравнения:

$y^2 = 25 - 9$

$y^2 = 16$

Чтобы найти $y$, извлечем квадратный корень из 16. Следует помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$y = \pm\sqrt{16}$

Следовательно, получаем два возможных значения для ординаты $y$:

$y_1 = 4$

$y_2 = -4$

Ответ: $4$ или $-4$.

741. Даны точки М(2; −1; 3), N(−4; 1; −1), Р(−3; 1; 2) и Q(1; 1; 0). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: найти координаты середин отрезков MN и PQ, а затем вычислить расстояние между этими двумя найденными точками.

1. Нахождение координат середины отрезка MN

Пусть точка A является серединой отрезка MN. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Формула для нахождения координат середины отрезка с концами в точках $M(x_M; y_M; z_M)$ и $N(x_N; y_N; z_N)$ выглядит следующим образом:

$A\left(\frac{x_M + x_N}{2}; \frac{y_M + y_N}{2}; \frac{z_M + z_N}{2}\right)$

Подставим заданные координаты точек $M(2; -1; 3)$ и $N(-4; 1; -1)$ в формулу:

$x_A = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_A = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$z_A = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты точки A, середины отрезка MN, равны $A(-1; 0; 1)$.

2. Нахождение координат середины отрезка PQ

Пусть точка B является серединой отрезка PQ. Используем аналогичную формулу для точек $P(-3; 1; 2)$ и $Q(1; 1; 0)$:

$B\left(\frac{x_P + x_Q}{2}; \frac{y_P + y_Q}{2}; \frac{z_P + z_Q}{2}\right)$

Подставим заданные координаты точек P и Q:

$x_B = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_B = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_B = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты точки B, середины отрезка PQ, равны $B(-1; 1; 1)$.

3. Вычисление расстояния между серединами A и B

Расстояние $d$ между точками $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим координаты найденных точек $A(-1; 0; 1)$ и $B(-1; 1; 1)$ в формулу:

$d_{AB} = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 1)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}$

$d_{AB} = \sqrt{0 + 1 + 0} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: 1

742. Найдите расстояние от точки В(−2; 5; 3) до осей координат.

Задача состоит в нахождении расстояний от точки $B(-2; 5; \sqrt{3})$ до каждой из трех координатных осей: оси Ox (абсцисс), оси Oy (ординат) и оси Oz (аппликат). Для этого мы будем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Расстояние до оси Ox

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проекцией точки $B(x, y, z)$ на ось Ox является точка $B_x(x, 0, 0)$, у которой координаты y и z равны нулю. Расстояние между точками $B$ и $B_x$ и есть искомое расстояние до оси Ox.
Формула расстояния: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
Для точки $B(-2; 5; \sqrt{3})$ ее проекция на ось Ox будет $B_x(-2; 0; 0)$.
$d_{Ox} = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (5 - 0)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + (\sqrt{3})^2}$.
$d_{Ox} = \sqrt{25 + 3} = \sqrt{28}$.
Упростим корень: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
В общем виде формула расстояния от точки $(x, y, z)$ до оси Ox: $d_{Ox} = \sqrt{y^2 + z^2}$.
Ответ: $2\sqrt{7}$.

Расстояние до оси Oy

Аналогично, расстояние от точки $(x, y, z)$ до оси Oy вычисляется по формуле $d_{Oy} = \sqrt{x^2 + z^2}$.
Подставим координаты точки $B(-2; 5; \sqrt{3})$:
$d_{Oy} = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{7}$.

Расстояние до оси Oz

Расстояние от точки $(x, y, z)$ до оси Oz вычисляется по формуле $d_{Oz} = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Подставим координаты точки $B(-2; 5; \sqrt{3})$:
$d_{Oz} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$.

743. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек А(13; 2; −1) и В(−15; 7; −18).

Пусть искомая точка $M$ лежит на оси ординат. Координаты любой точки на оси ординат (оси $Oy$) имеют вид $(0; y; 0)$. Таким образом, $M(0; y; 0)$.

По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(13; 2; -1)$ и $B(-15; 7; -18)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, или, что эквивалентно, квадраты этих расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$:
$MA^2 = (13 - 0)^2 + (2 - y)^2 + (-1 - 0)^2 = 13^2 + (2 - y)^2 + (-1)^2$
$MA^2 = 169 + (4 - 4y + y^2) + 1 = y^2 - 4y + 174$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$:
$MB^2 = (-15 - 0)^2 + (7 - y)^2 + (-18 - 0)^2 = (-15)^2 + (7 - y)^2 + (-18)^2$
$MB^2 = 225 + (49 - 14y + y^2) + 324 = y^2 - 14y + 598$.

Приравняем квадраты расстояний $MA^2$ и $MB^2$ и решим полученное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 4y + 174 = y^2 - 14y + 598$
Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:
$-4y + 174 = -14y + 598$
Перенесем члены с $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$14y - 4y = 598 - 174$
$10y = 424$
$y = \frac{424}{10} = 42.4$

Следовательно, искомая точка $M$ имеет координаты $(0; 42.4; 0)$.

Ответ: $(0; 42.4; 0)$.

744. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А(0; 2; 2), В(2; 1; 1), С(2; 2; 2).

Центр описанной окружности — это точка $O(x; y; z)$, равноудаленная от всех вершин треугольника. Это означает, что расстояния от точки $O$ до точек $A$, $B$ и $C$ равны. Математически это выражается как $OA = OB = OC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Даны координаты вершин треугольника: $A(0; 2; 2)$, $B(2; 1; 1)$, $C(2; 2; 2)$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве имеет вид: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Запишем квадраты расстояний от искомой точки $O(x; y; z)$ до каждой из вершин:

$OA^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = x^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

$OB^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2$

$OC^2 = (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

Теперь составим систему уравнений, приравняв квадраты расстояний.

1. Из равенства $OA^2 = OC^2$ получаем:

$x^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

Сократив одинаковые слагаемые $(y-2)^2$ и $(z-2)^2$, получим:

$x^2 = (x-2)^2$

$x^2 = x^2 - 4x + 4$

$4x = 4$

$x = 1$

2. Из равенства $OB^2 = OC^2$ получаем:

$(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2$

Сократив одинаковое слагаемое $(x-2)^2$, получим:

$(y-1)^2 + (z-1)^2 = (y-2)^2 + (z-2)^2$

Раскроем скобки:

$y^2 - 2y + 1 + z^2 - 2z + 1 = y^2 - 4y + 4 + z^2 - 4z + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$-2y - 2z + 2 = -4y - 4z + 8$

$2y + 2z = 6$

$y + z = 3$

Полученные два уравнения, $x = 1$ и $y + z = 3$, определяют прямую в пространстве, все точки которой равноудалены от вершин $A$, $B$ и $C$. Однако, центр описанной окружности должен также лежать в плоскости самого треугольника $ABC$. Найдем уравнение этой плоскости.

Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = (2-0; 1-2; 1-2) = (2; -1; -1)$

$\vec{AC} = (2-0; 2-2; 2-2) = (2; 0; 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости треугольника перпендикулярен обоим этим векторам и может быть найден с помощью их векторного произведения:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot 0 - (-1) \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) = (0; -2; 2)$

Для упрощения можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n'} = (0; -1; 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(0; 2; 2)$ с нормальным вектором $\vec{n'} = (0; -1; 1)$, имеет вид:

$0(x-0) - 1(y-2) + 1(z-2) = 0$

$-y + 2 + z - 2 = 0$

$z - y = 0$ или $y = z$

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения координат центра $O(x; y; z)$:

$\begin{cases} x = 1 \\ y + z = 3 \\ y = z \end{cases}$

Подставим $y=z$ из третьего уравнения во второе:

$y + y = 3$

$2y = 3$

$y = 1,5$

Поскольку $y=z$, то $z = 1,5$.

Таким образом, координаты центра описанной окружности: $(1; 1,5; 1,5)$.

Ответ: $(1; 1,5; 1,5)$

745. Найдите координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением (x − 3)² + y² + (z + 5)² = 25, с осями координат.

Уравнение сферы задано как $(x-3)^2 + y^2 + (z+5)^2 = 25$.

Чтобы найти точки пересечения сферы с осями координат, мы должны найти точки на каждой оси, которые удовлетворяют уравнению сферы.

Пересечение с осью Ox (осью абсцисс)

Точки на оси Ox имеют координаты вида $(x, 0, 0)$. Подставляем $y=0$ и $z=0$ в уравнение сферы:

$(x-3)^2 + 0^2 + (0+5)^2 = 25$

$(x-3)^2 + 25 = 25$

$(x-3)^2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Координаты точки пересечения с осью Ox: $(3, 0, 0)$.

Ответ: $(3, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy (осью ординат)

Точки на оси Oy имеют координаты вида $(0, y, 0)$. Подставляем $x=0$ и $z=0$ в уравнение сферы:

$(0-3)^2 + y^2 + (0+5)^2 = 25$

$9 + y^2 + 25 = 25$

$y^2 + 9 = 0$

$y^2 = -9$

Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, сфера не пересекает ось Oy.

Ответ: точек пересечения нет.

Пересечение с осью Oz (осью аппликат)

Точки на оси Oz имеют координаты вида $(0, 0, z)$. Подставляем $x=0$ и $y=0$ в уравнение сферы:

$(0-3)^2 + 0^2 + (z+5)^2 = 25$

$9 + (z+5)^2 = 25$

$(z+5)^2 = 25 - 9$

$(z+5)^2 = 16$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$z+5 = 4$ или $z+5 = -4$

Решаем каждое уравнение:

$z = 4 - 5 \implies z = -1$

$z = -4 - 5 \implies z = -9$

Координаты точек пересечения с осью Oz: $(0, 0, -1)$ и $(0, 0, -9)$.

Ответ: $(0, 0, -1)$ и $(0, 0, -9)$.

746. Найдите радиус сечения сферы х² + у² + z² = 36 плоскостью, проходящей через точку М(2; 4; 5) и перпендикулярной к оси абсцисс.

Уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 36$ соответствует сфере с центром в начале координат $O(0; 0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$.

Плоскость, перпендикулярная оси абсцисс (оси $Ox$), задается уравнением вида $x = const$. Так как по условию плоскость проходит через точку $M(2; 4; 5)$, то ее уравнение $x = 2$.

Сечение сферы плоскостью представляет собой окружность. Радиус этой окружности ($r$), радиус сферы ($R$) и расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) связаны между собой по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $R^2 = d^2 + r^2$.

Расстояние $d$ от центра сферы $O(0; 0; 0)$ до плоскости $x = 2$ равно модулю разности их координат по оси $x$:
$d = |2 - 0| = 2$.

Теперь найдем искомый радиус сечения $r$:
$r^2 = R^2 - d^2$
$r^2 = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$
$r = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$

747. Вершины треугольника ABC расположены по одну сторону от плоскости α и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм, 5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости α.

Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а $M$ — точка пересечения его медиан (центроид). Плоскость обозначим как $\alpha$. По условию, все вершины находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Расстояния от вершин до плоскости равны $h_A = 4$ дм, $h_B = 5$ дм и $h_C = 9$ дм. Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$, которое мы обозначим как $h_M$.

Для решения задачи можно использовать свойство, что расстояние от центроида треугольника до плоскости, не пересекающей его, равно среднему арифметическому расстояний от его вершин до этой плоскости. Докажем это свойство и найдем искомое расстояние.

1. Возьмем медиану, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть $K$ — середина стороны $BC$. Опустим из точек $B, C, K$ перпендикуляры на плоскость $\alpha$. Так как все перпендикуляры к одной плоскости параллельны, а $K$ — середина отрезка $BC$, то отрезок, соединяющий точку $K$ с ее проекцией на плоскость $\alpha$, является средней линией трапеции, образованной перпендикулярами из $B$ и $C$ и их проекциями. Длина этого перпендикуляра (расстояние $h_K$ от точки $K$ до плоскости $\alpha$) равна полусумме длин перпендикуляров из $B$ и $C$: $h_K = \frac{h_B + h_C}{2}$

Подставив числовые значения, получим: $h_K = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$ дм.

2. Центроид $M$ лежит на медиане $AK$ и делит ее в отношении $AM:MK = 2:1$, считая от вершины $A$. Теперь рассмотрим трапецию, образованную перпендикулярами из точек $A$ и $K$ на плоскость $\alpha$. Расстояние $h_M$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ можно найти, используя свойство деления боковой стороны трапеции. Длина отрезка, параллельного основаниям $h_A$ и $h_K$ и делящего боковую сторону $AK$ в отношении $2:1$, вычисляется как средневзвешенное: $h_M = \frac{1 \cdot h_A + 2 \cdot h_K}{1 + 2}$

Подставим сюда известные значения $h_A = 4$ дм и найденное значение $h_K = 7$ дм: $h_M = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 7}{3} = \frac{4 + 14}{3} = \frac{18}{3} = 6$ дм.

(Примечание: если подставить в эту формулу выражение для $h_K$, мы получим общую формулу: $h_M = \frac{1 \cdot h_A + 2 \cdot (\frac{h_B+h_C}{2})}{3} = \frac{h_A + h_B + h_C}{3}$. Эта формула подтверждает, что расстояние до центроида есть среднее арифметическое расстояний до вершин.)

Ответ: 6 дм.