Номер 739, страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

739. Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами a{2; 1; −2} и b{1; 3; 0}.

Для нахождения координат единичного вектора, который сонаправлен с заданным вектором, необходимо найти модуль (длину) этого вектора, а затем разделить каждую из его координат на этот модуль. Единичный вектор (орт) $\vec{e}$ для вектора $\vec{v}\{x; y; z\}$ вычисляется по формуле:

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left\{\frac{x}{|\vec{v}|}; \frac{y}{|\vec{v}|}; \frac{z}{|\vec{v}|}\right\}$

где модуль вектора $|\vec{v}|$ равен $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Для вектора $\vec{a}\{2; 1; -2\}$

1. Сначала вычислим модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

2. Теперь найдем координаты единичного вектора $\vec{e_a}$, сонаправленного с $\vec{a}$, разделив каждую координату вектора $\vec{a}$ на его модуль:

$\vec{e_a} = \left\{\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{-2}{3}\right\}$

Ответ: Координаты единичного вектора, сонаправленного с $\vec{a}$, равны $\left\{\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; -\frac{2}{3}\right\}$.

Для вектора $\vec{b}\{1; 3; 0\}$

1. Сначала вычислим модуль вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

2. Теперь найдем координаты единичного вектора $\vec{e_b}$, сонаправленного с $\vec{b}$, разделив каждую координату вектора $\vec{b}$ на его модуль:

$\vec{e_b} = \left\{\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; \frac{0}{\sqrt{10}}\right\} = \left\{\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; 0\right\}$

Также можно представить ответ, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\vec{e_b} = \left\{\frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}; \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}; 0\right\} = \left\{\frac{\sqrt{10}}{10}; \frac{3\sqrt{10}}{10}; 0\right\}$

Ответ: Координаты единичного вектора, сонаправленного с $\vec{b}$, равны $\left\{\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; 0\right\}$ (или $\left\{\frac{\sqrt{10}}{10}; \frac{3\sqrt{10}}{10}; 0\right\}$).