Номер 732, страница 187 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

732. Коллинеарны ли векторы:

Два ненулевых вектора $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ называются коллинеарными, если существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, то есть их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$. Если одна из координат вектора $\vec{a}$ равна нулю (например, $x_1=0$), то для коллинеарности соответствующая координата вектора $\vec{b}$ также должна быть равна нулю ($x_2=0$), а для ненулевых координат должно выполняться равенство отношений. Проверим это условие для каждой пары векторов.

а) Даны векторы $\vec{a}\{-5; 3; -1\}$ и $\vec{b}\{6; -10; -2\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{6}{-5} = -1,2$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{-10}{3} = -3\frac{1}{3}$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{-2}{-1} = 2$
Так как отношения координат не равны ($ -1,2 \neq -3\frac{1}{3} \neq 2 $), векторы не являются коллинеарными.
Ответ: не коллинеарны.

б) Даны векторы $\vec{a}\{-2; 3; 7\}$ и $\vec{b}\{-1; 1,5; 3,5\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{-1}{-2} = 0,5$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{1,5}{3} = 0,5$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{3,5}{7} = 0,5$
Так как все отношения координат равны ($0,5$), то векторы коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

в) Даны векторы $\vec{a}\{-\frac{2}{3}; \frac{5}{9}; -1\}$ и $\vec{b}\{6; -5; 9\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{6}{-\frac{2}{3}} = 6 \cdot (-\frac{3}{2}) = -9$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{-5}{\frac{5}{9}} = -5 \cdot \frac{9}{5} = -9$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{9}{-1} = -9$
Так как все отношения координат равны ($-9$), то векторы коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

г) Даны векторы $\vec{a}\{0,7; -1,2; -5,2\}$ и $\vec{b}\{-2,8; 4,8; -20,8\}$. Найдем отношения их соответствующих координат:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{-2,8}{0,7} = -4$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{4,8}{-1,2} = -4$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{-20,8}{-5,2} = 4$
Так как отношения не равны между собой ($-4 \neq 4$), векторы не являются коллинеарными.
Ответ: не коллинеарны.