Номер 13, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Перпендикулярны ли векторы:

Для определения перпендикулярности векторов мы можем использовать два основных подхода: геометрический, основанный на свойствах куба, или алгебраический, вычислив скалярное произведение векторов в системе координат. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут следующими:$A(0, a, 0)$, $B(a, a, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $D(0, 0, 0)$,$A_1(0, a, a)$, $B_1(a, a, a)$, $C_1(a, 0, a)$, $D_1(0, 0, a)$.

а) Перпендикулярны ли векторы $\vec{AD}$ и $\vec{D_1C_1}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{D_1C_1}$ лежит на прямой $D_1C_1$, которая параллельна прямой $DC$, так как $DCC_1D_1$ — это грань куба (квадрат). Следовательно, вектор $\vec{D_1C_1}$ коллинеарен вектору $\vec{DC}$. Вектор $\vec{AD}$ лежит на прямой $AD$. Прямые $AD$ и $DC$ являются смежными ребрами куба и перпендикулярны друг другу. Значит, угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ равен $90^\circ$. Так как $\vec{D_1C_1}$ сонаправлен с $\vec{DC}$, то угол между $\vec{AD}$ и $\vec{D_1C_1}$ также равен $90^\circ$. Следовательно, векторы перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{AD} = (0-0; 0-a; 0-0) = \{0; -a; 0\}$.
$\vec{D_1C_1} = (a-0; 0-0; a-a) = \{a; 0; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{AD} \cdot \vec{D_1C_1} = 0 \cdot a + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Ответ: Да, перпендикулярны.

б) Перпендикулярны ли векторы $\vec{BD}$ и $\vec{CC_1}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{CC_1}$ лежит на ребре $CC_1$, которое перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Вектор $\vec{BD}$ лежит на диагонали $BD$ основания, которая принадлежит плоскости $ABCD$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, прямая $CC_1$ перпендикулярна прямой $BD$, а значит и векторы перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{BD} = (0-a; 0-a; 0-0) = \{-a; -a; 0\}$.
$\vec{CC_1} = (a-a; 0-0; a-0) = \{0; 0; a\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{BD} \cdot \vec{CC_1} = (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны.
Ответ: Да, перпендикулярны.

в) Перпендикулярны ли векторы $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{AD}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{A_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{AC}$, так как $ACC_1A_1$ — диагональное сечение (прямоугольник). Таким образом, вопрос сводится к проверке перпендикулярности векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$. Эти два вектора выходят из одной точки $A$ и лежат в плоскости грани $ABCD$. Угол между ними — это угол $\angle CAD$ в квадрате $ABCD$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, который равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle CAD = 45^\circ$. Так как угол не равен $90^\circ$, векторы не перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{A_1C_1} = (a-0; 0-a; a-a) = \{a; -a; 0\}$.
$\vec{AD} = (0-0; 0-a; 0-0) = \{0; -a; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{AD} = a \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = a^2$.
Так как ребро куба $a \neq 0$, то $a^2 \neq 0$. Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, векторы не перпендикулярны.
Ответ: Нет, не перпендикулярны.

г) Перпендикулярны ли векторы $\vec{DB}$ и $\vec{D_1C_1}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{D_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{DC}$. Проверим перпендикулярность векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$. Оба вектора выходят из точки $D$. Угол между ними — это угол $\angle BDC$ в квадрате $ABCD$. Диагональ $DB$ является биссектрисой угла $\angle ADC = 90^\circ$, поэтому $\angle BDC = 45^\circ$. Угол не равен $90^\circ$, значит векторы не перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{DB} = (a-0; a-0; 0-0) = \{a; a; 0\}$.
$\vec{D_1C_1} = (a-0; 0-0; a-a) = \{a; 0; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{DB} \cdot \vec{D_1C_1} = a \cdot a + a \cdot 0 + 0 \cdot 0 = a^2$.
Так как $a \neq 0$, то $a^2 \neq 0$. Скалярное произведение не равно нулю, векторы не перпендикулярны.
Ответ: Нет, не перпендикулярны.

д) Перпендикулярны ли векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{AC}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{BB_1}$ лежит на ребре $BB_1$, которое перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Вектор $\vec{AC}$ лежит на диагонали $AC$ основания, которая принадлежит плоскости $ABCD$. Так как прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая прямую $AC$. Следовательно, векторы перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{BB_1} = (a-a; a-a; a-0) = \{0; 0; a\}$.
$\vec{AC} = (a-0; 0-a; 0-0) = \{a; -a; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{BB_1} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot a + 0 \cdot (-a) + a \cdot 0 = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы перпендикулярны.
Ответ: Да, перпендикулярны.