Номер 6, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 7. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 6, страница 186.

Условие.

6. Первая координата ненулевого вектора a равна нулю. Как расположен вектор a по отношению: а) к плоскости Охz; б) к оси Ох?

Решение 2.

Решение 6.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задан ненулевой вектор $\vec{a}$ с координатами $(a_x, a_y, a_z)$. Согласно условию задачи, первая координата вектора равна нулю, то есть $a_x = 0$. Таким образом, вектор имеет вид $\vec{a} = (0, a_y, a_z)$. Поскольку вектор ненулевой, его модуль отличен от нуля: $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + a_y^2 + a_z^2} \neq 0$. Это означает, что по крайней мере одна из координат $a_y$ или $a_z$ не равна нулю.

а) к плоскости Oxz

Плоскость $Oxz$ — это координатная плоскость, которая проходит через оси $Ox$ и $Oz$. Уравнение этой плоскости $y=0$. Все векторы, параллельные этой плоскости, имеют нулевую вторую координату ($y$-координату). Векторы, перпендикулярные этой плоскости, коллинеарны оси $Oy$. Рассмотрим возможные случаи расположения вектора $\vec{a}=(0, a_y, a_z)$ по отношению к плоскости $Oxz$.

1. Если $a_y = 0$, то, так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор, $a_z \neq 0$. Вектор имеет координаты $\vec{a} = (0, 0, a_z)$. Этот вектор коллинеарен (параллелен) оси $Oz$. Поскольку ось $Oz$ целиком лежит в плоскости $Oxz$, то вектор $\vec{a}$ в этом случае параллелен плоскости $Oxz$.

2. Если $a_z = 0$, то, так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор, $a_y \neq 0$. Вектор имеет координаты $\vec{a} = (0, a_y, 0)$. Этот вектор коллинеарен оси $Oy$. Ось $Oy$ перпендикулярна плоскости $Oxz$. Следовательно, в этом случае вектор $\vec{a}$ перпендикулярен плоскости $Oxz$.

3. Если $a_y \neq 0$ и $a_z \neq 0$, вектор $\vec{a} = (0, a_y, a_z)$ не параллелен и не перпендикулярен плоскости $Oxz$. Он образует с этой плоскостью некоторый угол, отличный от $0^\circ$ и $90^\circ$. Вектор $\vec{a}$ можно представить в виде суммы $\vec{a} = a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$, где $\vec{j}=(0,1,0)$ и $\vec{k}=(0,0,1)$ — орты осей $Oy$ и $Oz$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости $Oyz$. Плоскость $Oyz$ (уравнение $x=0$) перпендикулярна плоскости $Oxz$ (уравнение $y=0$), так как их нормальные векторы $\vec{n}_1=(1,0,0)$ и $\vec{n}_2=(0,1,0)$ ортогональны.

Таким образом, расположение вектора $\vec{a}$ относительно плоскости $Oxz$ зависит от его координат $a_y$ и $a_z$.

Ответ: Расположение вектора $\vec{a}$ относительно плоскости $Oxz$ зависит от его второй и третьей координат. Если вторая координата равна нулю ($a_y=0$), вектор параллелен плоскости $Oxz$. Если третья координата равна нулю ($a_z=0$), вектор перпендикулярен плоскости $Oxz$. Если обе эти координаты отличны от нуля, то вектор не параллелен и не перпендикулярен плоскости $Oxz$, но во всех случаях он лежит в плоскости (параллельной плоскости $Oyz$), которая перпендикулярна плоскости $Oxz$.

б) к оси Ox

Ось $Ox$ — это координатная ось, направляющим вектором которой является орт $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Чтобы определить взаимное расположение вектора $\vec{a} = (0, a_y, a_z)$ и оси $Ox$, найдем их скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны (ортогональны).

Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{i} = (0, a_y, a_z) \cdot (1, 0, 0) = 0 \cdot 1 + a_y \cdot 0 + a_z \cdot 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{i}$, а значит, и всей оси $Ox$.

Ответ: Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен оси $Ox$.