Номер 14, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. Первые координаты векторов a и b равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов a и b быть: а) меньше 2; б) равно 2; в) больше 2?

а) меньше 2

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы в $n$-мерном пространстве. Их скалярное произведение вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$. По условию, первые координаты векторов $a_1 = 1$ и $b_1 = 2$. Тогда скалярное произведение можно записать как $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 2 + \sum_{i=2}^{n} a_i b_i$.

Скалярное произведение будет меньше 2, если сумма произведений остальных координат будет отрицательной: $\sum_{i=2}^{n} a_i b_i < 0$.

Это возможно. Для примера рассмотрим двумерные векторы ($n=2$). Пусть $\vec{a} = (1, a_2)$ и $\vec{b} = (2, b_2)$. Мы можем выбрать $a_2$ и $b_2$ так, чтобы их произведение было отрицательным. Например, пусть $a_2 = 1$ и $b_2 = -1$.

Тогда $\vec{a} = (1, 1)$ и $\vec{b} = (2, -1)$. Их скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 2 - 1 = 1$.

Поскольку $1 < 2$, скалярное произведение может быть меньше 2.

Ответ: да, может.

б) равно 2

Исходя из формулы $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 + \sum_{i=2}^{n} a_i b_i$, скалярное произведение будет равно 2, если сумма произведений остальных координат будет равна нулю: $\sum_{i=2}^{n} a_i b_i = 0$.

Это возможно. Например, для двумерных векторов достаточно, чтобы $a_2 b_2 = 0$. Это выполняется, если хотя бы одна из этих координат равна нулю. Пусть $a_2 = 4$ и $b_2 = 0$.

Тогда $\vec{a} = (1, 4)$ и $\vec{b} = (2, 0)$. Их скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 0 = 2 + 0 = 2$.

Следовательно, скалярное произведение может быть равно 2.

Ответ: да, может.

в) больше 2

Скалярное произведение будет больше 2, если сумма произведений остальных координат будет положительной: $\sum_{i=2}^{n} a_i b_i > 0$.

Это возможно. Например, для двумерных векторов достаточно, чтобы произведение $a_2 b_2$ было положительным. Это выполняется, если $a_2$ и $b_2$ имеют одинаковый знак. Пусть $a_2 = 1$ и $b_2 = 3$.

Тогда $\vec{a} = (1, 1)$ и $\vec{b} = (2, 3)$. Их скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5$.

Поскольку $5 > 2$, скалярное произведение может быть больше 2.

Ответ: да, может.