Номер 827, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

827. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Пусть $ABCD$ — вписанный в окружность четырёхугольник, диагонали которого $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $D=2R$ — её диаметр. Требуется доказать, что сумма квадратов длин противоположных сторон равна квадрату диаметра, то есть $AB^2 + CD^2 = D^2$.

Доказательство:

1. Воспользуемся свойством углов, образованных пересекающимися хордами. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, которые эти хорды высекают на окружности. Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, угол между ними в точке пересечения $P$ равен $90^\circ$. Рассмотрим угол $\angle APB$:$$ \angle APB = \frac{1}{2} (\smile AB + \smile CD) $$Подставив значение угла $90^\circ$, получаем:$$ 90^\circ = \frac{1}{2} (\smile AB + \smile CD) $$Отсюда следует, что сумма угловых величин дуг $AB$ и $CD$ равна $180^\circ$:$$ \smile AB + \smile CD = 180^\circ $$

2. Проведём из вершины $C$ диаметр $CE$. Точка $E$ также будет лежать на описанной окружности.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle CDE$. Так как $CE$ — диаметр окружности, то вписанный угол $\angle CDE$, опирающийся на этот диаметр, является прямым ($\angle CDE = 90^\circ$). Таким образом, $\triangle CDE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора для этого треугольника:$$ CD^2 + DE^2 = CE^2 $$Поскольку $CE$ — это диаметр $D$, то $CE^2 = D^2$. Следовательно:$$ CD^2 + DE^2 = D^2 $$

4. Докажем, что длина хорды $DE$ равна длине хорды $AB$. В одной окружности равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот. Поэтому достаточно доказать, что дуга $DE$ равна дуге $AB$ ($\smile DE = \smile AB$).

Поскольку $CE$ является диаметром, дуга $CDE$ составляет половину окружности, то есть её угловая величина равна $180^\circ$. Эта дуга состоит из дуг $CD$ и $DE$:$$ \smile CDE = \smile CD + \smile DE = 180^\circ $$Отсюда выразим угловую величину дуги $DE$:$$ \smile DE = 180^\circ - \smile CD $$

5. Сравнивая это выражение с результатом из пункта 1 ($\smile AB = 180^\circ - \smile CD$), мы видим, что:$$ \smile DE = \smile AB $$Так как дуги равны, то и стягивающие их хорды равны:$$ DE = AB $$

6. Подставим $AB$ вместо $DE$ в равенство из пункта 3 (теорема Пифагора для $\triangle CDE$):$$ CD^2 + AB^2 = D^2 $$

Утверждение для одной пары противоположных сторон ($AB$ и $CD$) доказано. Доказательство для второй пары сторон ($BC$ и $DA$) полностью аналогично. Из перпендикулярности диагоналей следует, что $\smile BC + \smile DA = 180^\circ$. Используя тот же диаметр $CE$, можно показать, что $DA = BE$, и из прямоугольного треугольника $\triangle CBE$ получить $BC^2 + BE^2 = CE^2$, что приводит к $BC^2 + DA^2 = D^2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.