Номер 829, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

829. Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Рассмотрим произвольный четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Обозначим длины его сторон: $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$. Диагонали четырёхугольника обозначим как $AC = p$ и $BD = q$. Требуется доказать, что произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то есть:

$p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$

Доказательство проведём с помощью метода подобия треугольников.

На диагонали $AC$ отметим точку $K$ так, чтобы выполнялось равенство углов $\angle ABK = \angle CBD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$.

• $\angle ABK = \angle CBD$ по построению.
• $\angle KAB$ (тот же угол, что и $\angle CAB$) и $\angle BDC$ — вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, $\angle KAB = \angle BDC$.

Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого, $\triangle ABK \sim \triangle DBC$ по первому признаку подобия. Из подобия следует соотношение сторон: $ \frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB} $

Отсюда получаем первое равенство: $AK \cdot DB = AB \cdot DC$, или в наших обозначениях: $ AK \cdot q = a \cdot c \quad (1) $

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle KBC$ и $\triangle ABD$.

• $\angle KCB$ (тот же угол, что и $\angle ACB$) и $\angle ADB$ — вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу $AB$. Следовательно, $\angle KCB = \angle ADB$.
• Сравним углы $\angle KBC$ и $\angle ABD$. Имеем $\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK$. Также имеем $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD$. Поскольку по построению $\angle ABK = \angle CBD$, то получаем, что $\angle KBC = \angle ABD$.

Следовательно, $\triangle KBC \sim \triangle ABD$ по первому признаку подобия. Из этого подобия получаем соотношение сторон: $ \frac{CK}{DA} = \frac{CB}{DB} $

Отсюда второе равенство: $CK \cdot DB = CB \cdot DA$, или в наших обозначениях: $ CK \cdot q = b \cdot d \quad (2) $

Сложим почленно равенства (1) и (2): $ AK \cdot q + CK \cdot q = a \cdot c + b \cdot d $

Вынесем $q$ за скобки в левой части: $ (AK + CK) \cdot q = a \cdot c + b \cdot d $

Так как точка $K$ лежит на отрезке $AC$, то $AK + CK = AC = p$. Подставив это в последнее равенство, получим: $ p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d $

Теорема Птолемея доказана.

Ответ: Для любого вписанного в окружность четырёхугольника справедливо равенство, утверждающее, что произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$.