Номер 836, страница 212 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

836. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка D так, что ВD : АВ = DС : АС. Докажите, что отрезок АD — биссектриса треугольника АВС.

Пусть дан треугольник $ABC$. На его стороне $BC$ отмечена точка $D$ такая, что выполняется соотношение $BD : AB = DC : AC$. Это соотношение можно записать в виде пропорции: $$ \frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC} $$ Требуется доказать, что отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, то есть что $\angle BAD = \angle CAD$.

Доказательство проведем с использованием теоремы синусов. Обозначим $\angle BAD = \alpha$ и $\angle CAD = \beta$. Наша цель — доказать, что $\alpha = \beta$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме синусов, отношения сторон к синусам противолежащих углов равны: $$ \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ Подставив наши обозначения, получим: $$ \frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ Из этой пропорции выразим отношение $\frac{BD}{AB}$: $$ \frac{BD}{AB} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} \quad (1) $$

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Аналогично применим теорему синусов: $$ \frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $$ Подставив наши обозначения, получим: $$ \frac{DC}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $$ Выразим отношение $\frac{DC}{AC}$: $$ \frac{DC}{AC} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\angle ADC)} \quad (2) $$

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол при вершине $D$ на прямой $BC$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle ADC = 180^\circ - \angle ADB $$ Для синусов смежных углов справедливо равенство: $$ \sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle ADB) = \sin(\angle ADB) $$

По условию задачи дано, что $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$. Приравняем правые части выражений (1) и (2), которые мы получили из теоремы синусов: $$ \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\angle ADC)} $$ Используя равенство синусов смежных углов $\sin(\angle ADB) = \sin(\angle ADC)$, мы можем заменить $\sin(\angle ADC)$ в знаменателе правой части: $$ \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\angle ADB)} $$ Поскольку точка $D$ лежит на стороне $BC$, угол $\angle ADB$ не является ни $0^\circ$, ни $180^\circ$, поэтому его синус не равен нулю. Значит, мы можем умножить обе части равенства на $\sin(\angle ADB)$, чтобы сократить знаменатели. В результате получаем: $$ \sin(\alpha) = \sin(\beta) $$

Углы $\alpha$ и $\beta$ являются частями угла $BAC$ треугольника $ABC$. Следовательно, они оба положительны и их сумма $\alpha + \beta = \angle BAC$ меньше $180^\circ$. Из равенства $\sin(\alpha) = \sin(\beta)$ для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ следует два возможных варианта:
1. $\alpha = \beta$
2. $\alpha = 180^\circ - \beta$, что эквивалентно $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Второй вариант невозможен, так как сумма $\alpha + \beta$ образует угол $\angle BAC$ треугольника, а угол треугольника всегда строго меньше $180^\circ$. Следовательно, верным может быть только первый вариант: $\alpha = \beta$.

Так как $\angle BAD = \angle CAD$, то по определению отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ треугольника $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.