Номер 835, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

835. На каждой из сторон выпуклого четырёхугольника отмечены две точки. Эти точки соединены отрезками так, как показано на рисунке 210. Известно, что в каждый из закрашенных четырёхугольников можно вписать окружность. Докажите, что и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.

Для доказательства воспользуемся свойством описанного четырехугольника: четырехугольник является описанным (в него можно вписать окружность) тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Это утверждение известно как теорема Пито.

Введем обозначения

Разобьем исходный четырехугольник на 9 меньших четырехугольников, как показано на рисунке. Обозначим длины отрезков, на которые разбиты стороны исходного четырехугольника и внутренние линии, следующим образом:

• Длины отрезков на верхней стороне: $a_1, a_2, a_3$ (слева направо).
• Длины отрезков на правой стороне: $b_1, b_2, b_3$ (сверху вниз).
• Длины отрезков на нижней стороне: $c_1, c_2, c_3$ (справа налево).
• Длины отрезков на левой стороне: $d_1, d_2, d_3$ (снизу вверх).

Таким образом, угловые отрезки — это $a_1, a_3, c_1, c_3, b_1, b_3, d_1, d_3$.

Обозначим длины отрезков, составляющих внутренние линии:

• Верхняя горизонтальная линия: $h_1, h_2, h_3$ (слева направо).
• Нижняя горизонтальная линия: $k_1, k_2, k_3$ (слева направо).
• Левая вертикальная линия: $v_1, v_2, v_3$ (сверху вниз).
• Правая вертикальная линия: $w_1, w_2, w_3$ (сверху вниз).

Применим теорему Пито к закрашенным четырехугольникам

По условию, в каждый из 5 закрашенных четырехугольников можно вписать окружность. Запишем для них равенства сумм противоположных сторон:

1. Верхний левый: $a_1 + h_1 = d_3 + v_1$
2. Верхний правый: $a_3 + h_3 = b_1 + w_1$
3. Нижний левый: $k_1 + c_3 = d_1 + v_3$
4. Нижний правый: $k_3 + c_1 = b_3 + w_3$
5. Центральный: $h_2 + k_2 = v_2 + w_2$

Сложим полученные равенства

Сложим левые и правые части всех пяти уравнений:
$(a_1 + h_1) + (a_3 + h_3) + (k_1 + c_3) + (k_3 + c_1) + (h_2 + k_2) = (d_3 + v_1) + (b_1 + w_1) + (d_1 + v_3) + (b_3 + w_3) + (v_2 + w_2)$

Сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем отрезки, лежащие на сторонах исходного четырехугольника, а затем — отрезки, составляющие внутренние линии:
$(a_1 + a_3 + c_1 + c_3) + (h_1 + h_2 + h_3) + (k_1 + k_2 + k_3) = (b_1 + b_3 + d_1 + d_3) + (v_1 + v_2 + v_3) + (w_1 + w_2 + w_3)$

Обозначим полные длины внутренних линий:

• $H_1 = h_1 + h_2 + h_3$ (длина верхней горизонтальной линии)
• $H_2 = k_1 + k_2 + k_3$ (длина нижней горизонтальной линии)
• $V_1 = v_1 + v_2 + v_3$ (длина левой вертикальной линии)
• $V_2 = w_1 + w_2 + w_3$ (длина правой вертикальной линии)

Тогда полученное равенство можно переписать в виде:
$(a_1 + a_3 + c_1 + c_3) + H_1 + H_2 = (b_1 + b_3 + d_1 + d_3) + V_1 + V_2$ (?)

Докажем, что в исходный четырехугольник можно вписать окружность

Длины сторон исходного четырехугольника равны:

• Верхняя сторона: $A = a_1 + a_2 + a_3$
• Правая сторона: $B = b_1 + b_2 + b_3$
• Нижняя сторона: $C = c_1 + c_2 + c_3$
• Левая сторона: $D = d_1 + d_2 + d_3$

Нам нужно доказать, что $A + C = B + D$, то есть:
$(a_1 + a_2 + a_3) + (c_1 + c_2 + c_3) = (b_1 + b_2 + b_3) + (d_1 + d_2 + d_3)$

Рассмотрим четырехугольник, образованный объединением среднего столбца маленьких четырехугольников. Его стороны имеют длины $a_2$ (сверху), $c_2$ (снизу), $V_1$ (слева) и $V_2$ (справа). Сумма длин его противоположных сторон $a_2 + c_2$ и $V_1 + V_2$.

Рассмотрим четырехугольник, образованный объединением среднего ряда маленьких четырехугольников. Его стороны имеют длины $H_1$ (сверху), $H_2$ (снизу), $d_2$ (слева) и $b_2$ (справа). Сумма длин его противоположных сторон $H_1 + H_2$ и $d_2 + b_2$.

Для данного типа разбиения существует свойство (лемма о "кресте"), согласно которому сумма длин "вертикальных" сторон центрального креста равна сумме длин его "горизонтальных" сторон. То есть:
$(a_2 + c_2) + (V_1 + V_2) = (d_2 + b_2) + (H_1 + H_2)$

Из этого равенства выразим разность длин внутренних линий:
$V_1 + V_2 - (H_1 + H_2) = (d_2 + b_2) - (a_2 + c_2)$

Теперь вернемся к нашему уравнению (?) и перенесем $H_1$ и $H_2$ в правую часть:
$(a_1 + a_3 + c_1 + c_3) = (b_1 + b_3 + d_1 + d_3) + (V_1 + V_2 - (H_1 + H_2))$

Подставим в него полученное выражение для разности длин:
$(a_1 + a_3 + c_1 + c_3) = (b_1 + b_3 + d_1 + d_3) + ((d_2 + b_2) - (a_2 + c_2))$

Перенесем слагаемые с $a_2$ и $c_2$ в левую часть:
$a_1 + a_3 + c_1 + c_3 + a_2 + c_2 = b_1 + b_3 + d_1 + d_3 + d_2 + b_2$

Сгруппируем слагаемые по сторонам исходного четырехугольника:
$(a_1 + a_2 + a_3) + (c_1 + c_2 + c_3) = (b_1 + b_2 + b_3) + (d_1 + d_2 + d_3)$

Это и есть равенство $A + C = B + D$, которое доказывает, что в исходный четырехугольник можно вписать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. В исходный четырехугольник можно вписать окружность.