Номер 837, страница 212 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

837. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что ВD : АВ = DС : АС.

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$. Продлим сторону $BA$ за вершину $A$ и отметим на этом продолжении произвольную точку $K$. Тогда внешний угол при вершине $A$ — это угол $\angle KAC$. Пусть $AD$ — биссектриса этого угла, то есть $\angle KAD = \angle DAC$. По условию, прямая $AD$ пересекает прямую, содержащую сторону $BC$, в точке $D$. Для определённости, не умаляя общности, будем считать, что $AB \neq AC$. В этом случае точка $D$ не совпадает с $B$ или $C$ и лежит на продолжении отрезка $BC$. Предположим, что $D$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$ (этот случай соответствует $AB > AC$).

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AD$. Пусть она пересекает сторону $AB$ в точке $E$.

Так как по построению $CE \parallel AD$, то при пересечении этих параллельных прямых секущими можно установить равенство углов:
1. При пересечении секущей $AC$: накрест лежащие углы $\angle DAC$ и $\angle ACE$ равны. То есть, $\angle DAC = \angle ACE$.
2. При пересечении секущей $BK$ (прямая, содержащая сторону $AB$): соответственные углы $\angle KAD$ и $\angle AEC$ равны. То есть, $\angle KAD = \angle AEC$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle KAC$, мы знаем, что $\angle KAD = \angle DAC$. Из этого и равенств углов, полученных выше, следует, что $\angle ACE = \angle AEC$.

В треугольнике $AEC$ два угла равны ($\angle ACE = \angle AEC$), следовательно, $\triangle AEC$ является равнобедренным с основанием $EC$. Это означает, что боковые стороны, лежащие против равных углов, равны: $AE = AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BDA$. Прямая $CE$ параллельна его стороне $AD$ ($CE \parallel AD$) и пересекает две другие стороны $BD$ и $BA$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), которая следует из подобия треугольников $\triangle BCE$ и $\triangle BDA$, имеем следующее соотношение: $\frac{BC}{BD} = \frac{BE}{BA}$

Из расположения точек на прямой $AB$ имеем $BE = BA - AE$. Так как мы доказали, что $AE = AC$, мы можем заменить $AE$ на $AC$ и получить $BE = BA - AC$. Подставим это выражение в полученную ранее пропорцию: $\frac{BC}{BD} = \frac{BA - AC}{BA}$

Преобразуем это равенство, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение): $BC \cdot BA = BD \cdot (BA - AC)$ $BC \cdot BA = BD \cdot BA - BD \cdot AC$ Перенесем член с $AC$ в левую часть, а член с $BC$ в правую: $BD \cdot AC = BD \cdot BA - BC \cdot BA$ $BD \cdot AC = BA \cdot (BD - BC)$

Так как в нашем случае точка $C$ лежит между точками $B$ и $D$, то разность длин отрезков $BD$ и $BC$ равна длине отрезка $CD$, то есть $CD = BD - BC$. Подставив это в последнее равенство, получаем: $BD \cdot AC = AB \cdot DC$

Это равенство можно переписать в виде пропорции, разделив обе части на $AB \cdot AC$ (так как длины сторон треугольника не равны нулю): $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$ Что эквивалентно записи $BD : AB = DC : AC$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что для биссектрисы внешнего угла треугольника выполняется соотношение $BD : AB = DC : AC$.